Feladat:	4474. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Juhász Péter ,  Vajda Balázs
Füzet:	2013/március, 177 - 179. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Foton (mint elemi részecske), Fényvisszaverődés
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2012/október: 4474. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. A Nap luminozitása ($L$) a Napból egységnyi idő alatt kiáramló fény összes energiáját adja meg. Ebből az energiából időegységenként $\begin{array}{c}{\displaystyle P=L\frac{r^2\pi }{4R^2\pi }=\frac{L}{4}\frac{r^2}{R^2}}\end{array}$ jut a golyóra, ahol $r$ a golyó sugarát, $R$ pedig a Naptól mért távolságát jelöli. Tételezzük fel, hogy az alumíniumgolyó mindenfajta sugárzást elnyel, tehát feketetestként viselkedik. (Ez a valóságban biztosan nem teljesül, de mivel a feladat nem pontos számítást, csupán becslést kér, feltevésünk közelítésként elfogadható.) Jelöljük a golyóhoz valamekkora $\Delta t$ idő alatt érkező fotonok számát $\Delta N$-nel, a fotonok átlagos energiáját $\epsilon$-nal, impulzusukat pedig $p$-vel. Ismert, hogy a fotonokra $\epsilon =pc$, ahol $c=3\cdot {10}^8$m/s a vákuumbeli fénysebesség. A golyó által elnyelt fényteljesítmény kifejezhető a fotonok számával, azok $\Delta I$ lendületével is: $\begin{array}{c}{\displaystyle P=\frac{\Delta N\cdot \epsilon }{\Delta t}=\frac{\Delta N\cdot p}{\Delta t}c=\frac{\Delta I}{\Delta t}c\mathrm{.}}\end{array}$ Másrészt a beérkező fotonok lendületének időegységre jutó változása éppen az általuk kifejtett $F$ erővel egyenlő: $\begin{array}{c}{\displaystyle F=\frac{\Delta I}{\Delta t}=\frac{P}{c}=\frac{L}{4c}\frac{r^2}{R^2}\mathrm{.}}\end{array}$ Ez az erő (az ún. fénynyomásból származó erő) a Nappal ellentétes irányú és ‐ a tömegvonzási erőhöz hasonlóan ‐ az $R$ távolság négyzetével fordítottan arányos. Az alumíniumgolyó akkor maradhat nyugalomban, ha a rá ható erők eredője nulla: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{L}{4c}\frac{r^2}{R^2}-\gamma \frac{Mm}{R^2}=\mathrm{0,}}\end{array}$ ahol $m=\frac{4r^3\pi }{3}{\varrho }_{\text{Al}}$ a golyó tömege, $M$ pedig a Nap tömege. Az egyensúly feltétele tehát akkor teljesül, ha $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{L}{4c}{r}^2=\gamma M\frac{4r^3\pi }{3}{\varrho }_{\text{Al}}\mathrm{,}}\end{array}$ azaz a golyó sugara $\begin{array}{c}{\displaystyle r=\frac{3L}{16\pi c\gamma M{\varrho }_{\text{Al}}}\approx 2\cdot {10}^{-7}\text{m}=0\mathrm{,}2\text{mikron.}}\end{array}$ Ekkora alumíniumgolyócska a Naprendszerben bárhol nyugalomban maradhat (vagy akár egyenes vonalú, egyenletes mozgással átszelheti azt), amennyiben a környező égitestek gravitációs hatása valóban elhanyagolható.   Megjegyzések. 1. Megmutatjuk, hogy a fény nyomásából származó erő tükröző, sőt, még részlegesen tükröző felület esetén is ugyanakkora, mintha a golyó teljesen fekete lenne, tehát a fenti számolás ‐ a geometriai optika keretei között ‐ tulajdonképpen pontosnak is tekinthető.     Vizsgáljunk először egy tökéletesen tükröző gömbfelületet. A felületre eső fotonok különböző irányokba verődnek vissza, lendületváltozásuk tehát (látszólag) csak bonyolult számítással határozható meg. Megmutatjuk, hogy nem ez a helyzet, mert elemi úton belátható: a visszaverődő fény által ,,elvitt'' összes lendület nulla. Tekintsünk egy $r$ sugarú körbe írható szabályos $8n$-szöget (az ábrán $8n=24$), és forgassuk meg ezt az alakzatot két szemközti csúcsa körül. Közelítsük a tükröző gömbfelületet az így nyert, csonkakúp-palástokból álló, ugyancsak tükröző felülettel. A közelítés tetszőlegesen pontossá tehető, ha $n\gg 1$. A számítások megkönnyítése érdekében ez a tengely essen egybe a golyó ‐ Nap tengellyel. Az egyes csonkakúp-palástokra időegységenként érkező fotonok száma arányos a felületeknek a fény terjedési irányára merőleges vetületével. Vizsgáljuk meg a sokszög azon két oldalélét, amelyek a beeső fénnyel $\phi$ és ${90}^{\circ }-\phi$ szöget zárnak be. A nekik megfelelő (az ábrán szürkével jelölt) felületekre eső fotonok száma megegyezik, hiszen a merőleges vetületük (egy-egy körgyűrű) területe $A^2\pi -B^2\pi$, illetve $b^2\pi -a^2\pi$. Ezek viszont (a megfelelő derékszögű háromszögekre felírható Pitagorasz-tételből következően) egyforma nagyságúak. A tükröződő fény fotonjai által elvitt lendület mindegyik csonkakúp-paláston (a forgásszimmetria miatt) nyilván csak a beeső fény irányába mutató vektor lehet, de ezek összege is az ábrán jelölt két felületre nulla, hiszen a távozó fotonok iránya szimmetrikus a gömb ,,egyenlítőjének'' síkjára. A tükröződő fotonok tehát összességében nem visznek el lendületet, éppen úgy, mint egy fekete testnél, amely a rá eső fényt teljes mértékben elnyeli. Emiatt a fény által kifejtett erő is ugyanakkora, mint amekkora a tökéletesen fekete testnél lenne. A fényes alumínium a ráeső fény 15-20 százalékát elnyeli, a többit visszaveri. Mivel sem az elnyelt, sem a visszavert fény (összességében) nem visz el lendületet, a kiszámított fénynyomás hatása nem függ a felület fényvisszaverő képességétől. 2. Eddigi megfontolásainkban feltételeztük, hogy a nagyobb méretű alumíniumgolyókhoz hasonlóan egészen kicsi fémgömbökre is alkalmazhatjuk a geometriai optika módszereivel számolt fényszórás törvényeit. Ez a valóságban nem igaz, mivel a feladat során meghatározott nagyságú golyó már a kolloid mérettartományba esik, ahol más szórási törvények érvényesek. A részecske sugaránál nagyobb, vagy azzal összemérhető hullámhosszú fotonok esetében (a hullámhossztól függően) az ún. Tyndall-, Mie-, vagy Rayleigh-szórás jelensége lép fel. Ezeknél a fotonok jelentős része az eredeti haladási irányban szóródik tovább, így a fénynyomás a számított értéknél kisebb erőt fejt ki a részecskére. Emiatt az a valóságban a fentebb számítottnál kisebb méretű kell legyen, hogy nagyobb fajlagos felszínnel rendelkezzen. Ez azt jelenti, hogy még kisebb hullámhosszak esetén maradnak érvényesek a geometriai optikai szórás törvényei. A kolloid részecskék mérete és a látható fény fotonjainak hullámhossza összemérhető, a kapott részecske átmérőjének hossza ennek a tartománynak is az ibolya vége felé található. Mivel a Nap esetében az ultraibolya tartomány felé haladva az egyes hullámhosszakra jutó fényteljesítmény értéke meredeken, majdnem a nulláig csökken, lehetséges, hogy nem is alakulhat ki egyensúlyi helyzet a fénynyomás és a gravitáció között.