Feladat:	2011. évi Eötvös fizikaverseny 2. feladata	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	2012/március, 174 - 175. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Eötvös Loránd (korábban Károly Irén), Hővezetés, Telített gőz
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2012/március: 2011. évi Eötvös fizikaverseny 2. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Ha egy folyadék saját telített gőzével érintkezik, akkor a gőz nyomása csak közös hőmérsékletüktől függ. Az alul levő $1{}^{\circ }$C-os víz felett a gőz nyomása tehát mindkét esetben ugyanannyi. (A táblázatból interpolációval leolvasható ennek aktuális értéke: 660 Pa.) A gőznyomás az egész edényben ugyanakkora, de abban az esetben, ha a hőmérséklet felfelé emelkedik, a gőz sűrűsége felfelé csökken. (Szintén a táblázatból olvasható ki, hogy az $1{}^{\circ }$C-os telített gőz sűrűsége 5,2 g/m${}^3$, amiből egy átlagosan $50\mathrm{,}5{}^{\circ }$C-os gőz sűrűségére ,,ideális gáz közelítésben'' 4,4 g/m${}^3$ adódik.) A gőz új stacionárius (időben állandó) állapotában tehát a gőz átlagos sűrűsége kisebb lett, vagyis a gőzállapotban levő vízmolekulák száma csökkent (2. ábra)!     2. ábra   $b)$ Ha a vízréteg magassága kezdetben 10 cm, a víz kitölti az edény felét. Felette azonban ugyanúgy $1{}^{\circ }$C hőmérsékletű és 660 Pa nyomású telített gőz van, mint az $a)$ esetben. Amikor viszont a fedőlap hőmérsékletét $100{}^{\circ }$C-ra emeljük, már nem mondhatjuk, hogy az egész víz $1{}^{\circ }$C-os marad, ugyanúgy, mint amikor ,,papírvékonyságú'' volt. Azt se állíthatjuk persze, hogy jelentősen felmelegszik a víz felső rétege, mivel a víz sokkal jobb hővezető, mint a vízgőz. Mennyire melegszik hát fel? Táblázatból kiolvasható, hogy a vízgőz hővezetési együtthatója $\begin{array}{c}{\displaystyle {\lambda }_{\text{gőz}}=18\mathrm{,}0\cdot {10}^{-3}\frac{\text{J}}{\text{m K s}}\mathrm{,}}\end{array}$ míg a víz hővezetési együtthatója $\begin{array}{c}{\displaystyle {\lambda }_{\text{víz}}=0\mathrm{,}587\frac{\text{J}}{\text{m K s}}=587\cdot {10}^{-3}\frac{\text{J}}{\text{m K s}}\mathrm{.}}\end{array}$ Mivel a vízréteg és felette a vízgőz ugyanolyan (10 cm) magas, és a kialakuló hőmérsékletkülönbségek fordítva arányosak a hővezetési együtthatókkal, ezért a víz tetejének és a vele érintkező vízgőznek a közös hőmérsékletét $T_{\text{k}}$-val jelölve felírhatjuk: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{T_{\text{k}}-1{}^{\circ }\text{C}}{100{}^{\circ }\text{C}-T_{\text{k}}}=\frac{{\lambda }_{\text{gőz}}}{{\lambda }_{\text{víz}}}=\frac{18\cdot {10}^{-3}}{587\cdot {10}^{-3}}\mathrm{.}}\end{array}$ Ennek alapján kapjuk $T_{\text{k}}$-ra a $4{}^{\circ }\text{C}$-os értéket, amit már a 3. ábrán is feltüntettünk.     3. ábra   Ezek után a táblázatból extrapolációval kiolvashatjuk a $4{}^{\circ }\text{C}$-hoz tartozó telítési gőznyomás nagyságát: 820 Pa. Ez is szerepel már az ábrán. Hasonlóképpen kiolvashatjuk a telített vízgőz sűrűségének értékét $4{}^{\circ }\text{C}$-on, ez 6,4 g/m${}^3$. A nyomás az egész gőztérben 820 Pa lesz, a gőz sűrűsége azonban csak legalul 6,4 g/m${}^3$, felfelé egyre kevesebb. Megbecsülhetjük az átlagos sűrűséget, újra csak ideális gáznak tekintve a vízgőzt, amely átlagosan $50\mathrm{,}5{}^{\circ }$C hőmérsékletű: $\begin{array}{c}{\displaystyle \varrho =\frac{274}{323\mathrm{,}5}\cdot 6\mathrm{,}4\frac{\text{g}}{{\text{m}}^3}=5\mathrm{,}4\frac{\text{g}}{{\text{m}}^3}\mathrm{.}}\end{array}$ Ez viszont még mindig több, mint az $1{}^{\circ }\text{C}$-hoz tartozó 5,2 g/m${}^3$ érték, vagyis ebben az esetben a gőzállapotban levő vízmolekulák száma nőtt!   Kiegészítés: Számításunkban eltekintettünk a víz sűrűségváltozásától, amely persze elhanyagolható a vízgőz sűrűségváltozásához képest. Mégis okozhat egy kis galibát, ha figyelembe vesszük, hogy a $4{}^{\circ }\text{C}$-os legfelső vízréteg sűrűsége nagyobb, mint az alatta levőké. Ezáltal a víz mechanikailag instabillá válik az edényben, s az egyensúlynak kis megzavarása is áramlásokat idézhet elő. Ha valamelyik versenyző erre is utalt volna a dolgozatában, a versenybizottság plusz pontokkal jutalmazta volna, de senkinek se jutott ez akkor eszébe. Hasonlóképpen figyelmen kívül hagyta mindenki a $100{}^{\circ }\text{C}$-os felső lap hősugárzásának hatását a vízréteg hőmérsékletére, azonban ez a hatás nem is olyan jelentős, hogy módosítaná a végső választ: az $a)$ esetben csökken, a $b)$ esetben nő a vízgőz molekuláinak száma.