Feladat:	2012. évi Nemzetközi Fizika Diákolimpia 3. feladata	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Sarlós Ferenc ,  Vankó Péter ,  Vigh Máté
Füzet:	2012/november, 496 - 498. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Nemzetközi Fizika Diákolimpia, Egyéb csillagfejlődés, Hősugárzás, Bolygómozgás, Kepler törvények, Egyéb gravitációs helyzeti energia
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2012/október: 2012. évi Nemzetközi Fizika Diákolimpia 3. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   3. feladat. Csillagkezdemény kialakulása i. A kezdeti szakaszban a hőmérséklet nem változik. Így a Boyle‐Mariotte-törvény alapján: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{p_1}{p_0}=\frac{V_0}{V_1}={\left(\frac{r_0}{r_1}\right)}^3=8.}\end{array}$   ii. A folyamat kezdetén a gáz nyomásából származó erők elhanyagolhatók a gravitációs erőhöz képest. Tekintsünk egy kicsiny gáztérfogatot a gázfelhő szélén. Ismert, hogy egy gömbszimmetrikus tömegeloszlás gravitációs tere a gömbön kívül (és annak felületén) megegyezik a gömb középpontjába helyezet (azonos tömegű) tömegpont gravitációs terével. Így a gáztérfogatunk kezdeti gyorsulása $g\approx Gm/r_0^2$. Mivel a gravitációs erő nem változik lényegesen, a gyorsulást közelíthetjük ezzel az állandó értékkel. Ebben a közelítésben egyenletesen gyorsuló mozgásról beszélhetünk. A négyzetes úttörvényből az idő könnyen kifejezhető: $\begin{array}{c}{\displaystyle t_2\approx \sqrt[]{\frac{2\left(r_0-r_2\right)}{g}}=\sqrt[]{\frac{2r_0^2\left(r_0-r_2\right)}{Gm}}=\sqrt[]{\frac{0\mathrm{,}1r_0^3}{Gm}}\mathrm{.}}\end{array}$   Megjegyzés. Érdemes észrevenni, hogy ez az idő csak a gázfelhő sűrűségétől függ. Ez azt jelenti, hogy a gázfelhő belsejében kiszemelt kicsiny gáztérfogatra is igaz, hogy $t_2$ idő alatt csökken a középponttól mért távolsága 5%-kal. Hasonló okoskodással belátható, hogy ez a későbbi (nem nulla kezdősebességű) mozgásszakaszokra is érvényes, és emiatt a kezdetben homogén anyageloszlású gázfelhő mindaddig homogén marad, amíg a gáz nyomása elhanyagolható.   iii. Továbbra is feltételezzük, hogy a kicsiny gáztérfogatunk mozgásában a gravitáción kívüli hatásokat elhanyagolhatjuk. A feladat szövege azt sugallja, hogy az esési pályát egy elfajult ellipszispályának tekintsük, melynek fél nagytengelye $r_0/2$ (lásd a 4. ábrát).   4. ábra   Kepler III. törvényéből következik, hogy a pálya periódusideje megegyezik egy $r_0/2$ sugarú körpálya $T$ periódusidejével, amit az egyenletes körmozgás mozgásegyenletéből könnyen ki lehet számítani: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\left(\frac{2\pi }{T}\right)}^2\frac{r_0}{2}=\frac{Gm}{{\left(r_0/2\right)}^2}\mathrm{,}\text{ahonnan}T=2\pi \sqrt[]{\frac{r_0^3}{8Gm}}\mathrm{.}}\end{array}$ A feladat szövegéből kitűnik, hogy a végső sugár sokkal kisebb, mint a kezdeti, ezért az összeomlás idejét közelíthetjük a kiszámolt periódusidő felével: $\begin{array}{c}{\displaystyle t=\frac{T}{2}=\pi \sqrt[]{\frac{r_0^3}{8Gm}}\mathrm{.}}\end{array}$   Megjegyzés. A gázfelhő gravitációs összeroskadásának idejét úgy is megkaphatjuk, hogy az energiamegmaradás törvényét használva kiszámítjuk a sebesség helyfüggését: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{v^2}{2}-\frac{Gm}{r}=E\left(=-\frac{Gm}{r_0}\right)\mathrm{,}}\end{array}$ ahonnan $\begin{array}{c}{\displaystyle -\frac{\text{d}r}{\text{d}t}=v\left(r\right)=\sqrt[]{2E+\frac{2Gm}{r}}\mathrm{,}}\end{array}$ majd a sebesség reciprokát integráljuk a teljes pályára: $\begin{array}{c}{\displaystyle t=\underset{0}{\overset{r_0}{\int }}\frac{\text{d}r}{\sqrt[]{2E+\frac{2Gm}{r}}}\mathrm{.}}\end{array}$ Az integrál (melynek kiszámítása a verseny korlátozott ideje alatt nyilván nem várható el) ugyanazt az eredményt adja, mint a Kepler-törvényekre hivatkozó megoldás.   iv. Mivel a gáz hőmérséklete nem változik, azért a gáz által kisugárzott hő a gázon végzett munkával egyenlő. A gáz izoterm állapotváltozása során a végzett munka: $\begin{array}{c}{\displaystyle W=-\underset{V_0}{\overset{V_3}{\int }}p\left(V\right)\text{d}V\mathrm{,}}\end{array}$ ahol a nyomás a $pV=\frac{m}{\mu }R{T}_0$ gáztörvényből számolható. A kisugárzott hő eszerint $\begin{array}{c}{\displaystyle Q=W=-nR{T}_0\underset{V_0}{\overset{V_3}{\int }}\frac{1}{V}\text{d}V=R{T}_0\frac{m}{\mu }\text{ln}\frac{V_0}{V_3}=3R{T}_0\frac{m}{\mu }\text{ln}\frac{r_0}{r_3}\mathrm{.}}\end{array}$   Megjegyzések. 1. A felhasznált munkaképlet arra az esetre vonatkozik, amikor a gáz egyensúlyi állapotokon keresztül jut el egyik állapotból a másikba. Ez a jelen esetben nem teljesül, de ennél jobb becslést nem lehet adni. 2. Sokan ott hibáztak, hogy a gravitációs energia teljes változásával tették egyenlővé a kisugárzott hőt. Ez csak akkor lenne igaz, ha a nyomás a gravitációval azonos nagyságú lenne, itt viszont elhanyagolható. A feladat szövegében megadott $Gm\mu /r_0\gg R{T}_0$ egyenlőtlenséggel könnyű belátni, hogy a kisugárzott hő elhanyagolható a gravitációs energiaváltozáshoz képest.   v. Az összeroskadás ebben a szakaszban adiabatikus. Az adiabatikus állapotváltozásra igaz, hogy $p{V}^{\gamma }=$ állandó. Ebből és a gáztörvényből következik, hogy $T{V}^{\gamma -1}=$ állandó. Ezt felhasználva: $\begin{array}{c}{\displaystyle T=T_0{\left(\frac{V_3}{V}\right)}^{\gamma -1}=T_0{\left(\frac{r_3}{r}\right)}^{3\gamma -3}\mathrm{.}}\end{array}$   vi. Az összeroskadás $r_3\to r_4$ szakaszában a gravitációs energia és a meglévő mozgási energia alakul át a gáz belső energiájává. A mozgási energia megegyezik az $r_0\to r_3$ szakaszon történő gravitációs energiaváltozás nagyságával. A gravitációs energiaváltozást a következő formulával becsülhetjük: $\begin{array}{c}{\displaystyle \Delta E_{\text{g}}=-G\frac{m^2}{r_4}-\left(-G\frac{m^2}{r_0}\right)\approx -G\frac{m^2}{r_4}\mathrm{.}}\end{array}$ (A pontosabb, integrálással meghatározható energiaváltozás ettől a becsléstől egy $\frac{3}{5}$-ös szorzótényezőben különbözik.) A belső energia megváltozása: $\begin{array}{c}{\displaystyle \Delta E_{\text{b}}=\frac{f}{2}nR{T}_4-\frac{f}{2}nR{T}_0\approx \frac{f}{2}nR{T}_4\approx nR{T}_4\mathrm{.}}\end{array}$ A fenti közelítéseknél kihasználtuk, hogy $r_4\ll r_0$ és $T_4\gg T_0$; az $f/2$ tényező helyébe pedig azért írtunk 1-et, mert csupán nagyságrendi becslésre törekszünk; az egységnyi nagyságú szorzótényezőket nem vesszük számításba.) A két energiaváltozás nagyságát egyenlővé téve ‐ és a hőmérsékletet a felhő sugarával kifejezve ‐ kapjuk: $\begin{array}{c}{\displaystyle G\frac{m^2}{r_4}\approx \frac{m}{\mu }R{T}_0{\left(\frac{r_3}{r_4}\right)}^{3\gamma -3}\mathrm{.}}\end{array}$ Innen a keresett méret és hőmérséklet kifejezhető: $\begin{array}{c}{\displaystyle r_4\approx r_3{\left(\frac{R{T}_0{r}_3}{\mu mG}\right)}^{\frac{1}{3\gamma -4}}\mathrm{,}{T}_4\approx T_0{\left(\frac{R{T}_0{r}_3}{\mu mG}\right)}^{\frac{3\gamma -3}{4-3\gamma }}\mathrm{.}}\end{array}$   Megjegyzések. 1. Az egyensúlyba került gázfelhő közepén kialakuló nyomást (közelítően, de nagyságrendileg helyesen) kétféleképpen is kiszámíthatjuk: egyrészt a ($\varrho$ sűrűségű) gáz hidrosztatikai nyomásaként: $\begin{array}{c}{\displaystyle p\approx \varrho r_4\cdot \frac{Gm}{r_4^2}\mathrm{,}}\end{array}$ másrészt a gáztörvény felhasználásával: $\begin{array}{c}{\displaystyle p\approx \frac{\varrho }{\mu }R{T}_4\mathrm{.}}\end{array}$ A két kifejezés jobb oldalát egyenlővé téve (valamint $T_4$ és $r_4$ korábban kiszámított kapcsolatát is felhasználva) megkapjuk $T_4$ és $r_4$ fentebb levezetett kifejezéseit. 2. Sok versenyző (a magyar diákok közül is többen) a virtuális munka elvét használták. Eszerint egy test akkor van egyensúlyi helyzetben, ha egy kicsiny elképzelt (virtuális) kitérítés esetén a testen végzett munkák összege nulla. A jelen esetre alkalmazva ez azt jelenti, hogy kicsi sugárváltozás esetén a felszabaduló gravitációs energia éppen fedezi a gáz belső energia növekedését. Az így számolt képletek egy konstans szorzózényezőben térnek el a fenti eredményektől. Az eltérés okát egy egyszerű mechanikai példával szemléltethetjük. Ha egy nyújtatlan rugóra egy testet akasztunk, és felírjuk az energia-megmaradás törvényét, akkor a rezgőmozgás alsó és felső maximális kitérési helyét kapjuk meg, a virtuális munka elvével pedig az egyensúlyi helyzetet találjuk meg.