Feladat: 2012. évi Nemzetközi Fizika Diákolimpia 2. feladata Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Sarlós Ferenc ,  Vankó Péter ,  Vigh Máté 
Füzet: 2012/november, 493 - 495. oldal  PDF file
Témakör(ök): Nemzetközi Fizika Diákolimpia, Egyéb elektrodinamika
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2012/október: 2012. évi Nemzetközi Fizika Diákolimpia 2. feladata

 
2. feladat. Kelvin csepegtetős gépe (8 pont).
A következő ismeretek hasznosak lehetnek: A folyadék felületét kevésbé kedvelik a részecskék, mint az anyag belsejét. Emiatt a határfelülethez U=σS felületi energia rendelhető, ahol S a határfelület területe és σ a folyadék felületi feszültsége. Továbbá a folyadékfelszín két darabkája F=σl erővel vonzza egymást, ahol l a darabkákat elválasztó egyenes határvonal hossza.
 

Egy víztartályhoz csatlakozó, d belső átmérőjű, hosszú fémcső függőlegesen lefelé áll; a cső alsó kimeneti nyílásából lassan víz csöpög ki (6. ábra). A vizet elektromosan vezetőnek tekinthetjük; a víz felületi feszültsége σ, sűrűsége ρ. A kimeneti nyílásról lelógó, gömbnek tekinthető vízcsepp sugara r. Mindvégig feltehetjük, hogy dr. A vízcsepp nagyon lassan növekszik egészen addig, amíg a g nehézségi gyorsulás hatására le nem esik.

 

6. ábra
 

A rész. Egyetlen cső (4 pont).
i (1,2 pont). Add meg a vízcsepp rmax sugarát abban a pillanatban, amikor leszakad a cső kimeneti nyílásáról.
ii (1,2 pont). A nagyon távoli környezethez képest a cső elektromos potenciálja φ. Határozd meg a csepp Q töltését, amikor a csepp sugara r.
iii (1,6 pont). Ebben az alkérdésben a φ potenciál lassan növekszik, azonban tegyük fel, hogy a csepp r sugara állandó marad. A vízcsepp instabillá válik, és két darabra szakad szét, ha a vízcsepp belsejében a nyomás kisebbé válik, mint a külső légnyomás. Határozd meg azt a φmax potenciált, amikor a szétszakadás bekövetkezik.
B rész. Két cső (4 pont). A két csőből álló berendezést ``Kelvin csepegtetős gépének'' nevezzük, melyben a két cső megegyezik az A részben leírtakkal. A két cső a 7. ábrán látható T-elágazással kapcsolódik a víztartályhoz. Mindkét cső kimeneti nyílása egy-egy fémhenger-elektróda középpontjába esik. A hengerpalástok magassága L, átmérőjük D, LDr; mindkét cső esetén az időegységenként lecseppenő cseppek száma n. A cseppek H magasságból a kimeneti nyílások alatt elhelyezkedő, elektromosan vezető edényekbe esnek. Az edények az ábrán látható módon az átellenes henger-elektródákkal vannak elektromosan összekötve. A hengerelektródák közé C kapacitású kondenzátor van kapcsolva.

 

7. ábra
 
A rendszer össztöltése kezdetben nulla. Az első leeső csepp mikroszkopikus töltéssel rendelkezik, amely felborítja a két oldal közötti egyensúlyt és kis töltésszétválást okoz a kondenzátoron. Vedd figyelembe, hogy a tartály földelt!
i (1,2 pont). Fejezd ki a lecseppenő cseppek Q0 töltésének nagyságát akkor, amikor a kondenzátor töltése q. Megoldásodat fejezd ki az A/i. részben meghatározott rmax paraméter segítségével. Tekints el az A/iii. részben leírt effektustól!
ii (1,5 pont). Határozd meg a q töltést a t idő függvényében. Tekintsd a q(t) függvényt folytonosnak, és tételezd fel, hogy q(0)=q0.
iii (1,3 pont). A csepegtető működését az A/iii. részben leírt jelenség akadályozhatja. Az elérhető Umax határfeszültséget a csepp és az alatta lévő edény elektrosztatikus taszító hatása határozza meg. Határozd meg Umax értékét!
 

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

 
2. feladat. Kelvin csepegtetős gépe

A rész. Egyetlen cső. i. A feladat szövege szerint a víz lassan csöpög ki a csőből: ez időben állandósult vízhozamra utal, ezért a csőben lévő vízoszlopra ható erők eredője (a cső falánál és a folyadékban fellépő belső súrlódás miatt) zérus. A vízcseppben uralkodó nyomás a külső légnyomásnál a felületi feszültség miatt Δp=2σ/r értékkel nagyobb (itt r a vízcsepp sugara). A cső végén függő, lassan hízó vízcseppre a következő négy erő hat: függőlegesen lefelé a 43πr3ρg nehézségi erő, a cső szája és a víz érintkezési vonalán a felületi feszültségből származó 2πrσ nagyságú, felfelé mutató erő, a p0 külső légnyomásból származó (felfelé irányuló) erő és a vízcsepp csőhöz csatlakozó részén egy kis d átmérőjű körlapon ható p0+Δp nyomásból származó, lefelé mutató erő. Könnyen belátható, hogy utóbbi két erő eredője π4d2Δp, ezt a d-ben másodrendűen kicsiny hatást dr miatt elhanyagolhatjuk.
Közvetlenül a leválás előtt a vízcsepp jelentősen deformálódik: a csepp felső része és a cső között kicsiny, d átmérőjű, hengeres nyak képződik. Ebben a pillanatban a ,,nyak'' által függőlegesen felfelé kifejtett πdσ kapilláris erő éppen ellensúlyozza a vízcsepp súlyát, azaz
πdσ=43πrmax3ρg,
innen a csepp maximális sugara:
rmax=3σd4ρg3.

 
ii. A vízcsepp töltéseloszlása (dr miatt) jó közelítéssel egyenletes, így a csepp φ potenciálja egy Q töltésű gömb potenciáljaként számolható:
φ=14πε0Qr,
ebből Q=4πε0φr.
 
iii. A feltöltött gömbön kívül, felületének közelében E=14πε0Qr2 nagyságú térerősség uralkodik, a gömbön belül pedig zérus az elektromos térerősség. A gömb felületén lévő, ΔA felszínű kicsiny darabka töltése az egyenletes töltéseloszlás miatt ΔQ=ΔA4πr2Q, a rá ható erő pedig
ΔF=12EΔQ=Q232π2ε0r4ΔA=ε0φ22r2ΔA.
(Az 12-es szorzótényező ‐ kissé pongyolán fogalmazva ‐ onnan származik, hogy a térerősség csak a darabka külső oldalán E, a belső oldalon zérus, így átlagosan E/2 a darabka helyén a térerősség. Ugyanez a faktor jelenik meg egy síkkondenzátor lemezei között ható erő kifejezésében is.)
A vízcseppet a felületi feszültség igyekszik összehúzni, a felületén lévő, egymást taszító töltések pedig igyekeznek kitágítani. Az elektromos taszításból származó erő ΔFΔA értékkel csökkenti a csepp belsejében uralkodó nyomást. A csepp akkor szakad szét, ha ez a ,,negatív'' nyomás éppen megegyezik a görbületi nyomással:
ε0φmax22r2=2σr,
ebből a maximálisan alkalmazható potenciál φmax=2σr/ε0.
 
B rész. Két cső. i. Bár a cseppek potenciálja a földelés miatt nulla, a környező, hengeres elektródák hatása miatt mégis feltöltődnek. Vizsgáljuk meg a potenciál változását a következő, a bal oldali csepptől a jobb oldali cseppig vezető útvonalon: a bal oldali csepptől a bal oldali hengeres elektródáig U a potenciálkülönbség, a bal oldali és a jobb oldali elektróda között q/C a feszültség (hiszen a kondenzátoron át kell haladnunk), végül a jobb oldali elektróda és a jobb oldali csepp között (a szimmetria miatt és a töltések előjele miatt) ismét U a feszültség. Útvonalunk kezdő- és végpontja egyaránt zérus potenciálú, tehát a feszültségek összegének is nullának kell lennie:
U+q/C+U=0,
azaz az azonos oldalon elhelyezkedő hengeres elektróda és csepp között
U=±q/(2C)
a feszültség (az előjel attól függ, hogy a jobb vagy bal oldalt vizsgáljuk). Az A/ii. rész eredményét felhasználva, a φ=q/(2C) és r=rmax helyettesítéssel megkapjuk az éppen leeső cseppek töltését:
Q=2πε0qrmax/C.

ii. Az egységnyi idő alatt lecseppenő cseppek száma n, így a hengeres elektródák (vagyis a kondenzátor) töltése dt idő alatt dq=Qndt értékkel növekszik. Az előző alkérdés eredményét felhasználva ez tovább alakítható:
dqdt=2πε0rmaxnCq,
ami egy előjeltől eltekintve a radioaktív bomlás differenciálegyenletére hasonlít. A jobb oldalon eltérő előjel azt eredményezi, hogy a kondenzátor töltése a radioaktív atommagok számával ellentétben nem exponenciálisan csökken, hanem exponenciálian növekszik az idővel:
q(t)=q0eγt,aholγ=2πε0rmaxnC=πε0nC6σdρg3.

 
iii. A leeső cseppek akkor érhetik el az alattuk elhelyezkedő edényeket, ha az mgH gravitációs helyzeti energiájuk elég nagy az elektrosztatikus taszítás legyőzéséhez. Közvetlenül a leszakadás után a Q töltésű csepp a hengeres elektróda által létrehozott q/(2C) potenciált érzi, amikor pedig az alatta lévő, vízzel telt edénybe érkezik, -q/(2C) potenciálú helyre kerül. Az edény elérésének feltétele tehát:
qCQmgH,aholQ=2πε0qrmaxC.
Ebből a kondenzátor UC=q/C feszültségének legnagyobb értéke:
UCmax=mgH2πε0rmax.
Az A/i. rész eredményét felhasználva a végeredmény:
UCmax=σ2d2H3ρg6ε06.