Feladat:	2011. évi Nemzetközi Fizika Diákolimpia 3. feladata	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Honyek Gyula ,  Vankó Péter ,  Vigh Máté
Füzet:	2011/november, 493 - 496. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Nemzetközi Fizika Diákolimpia, Egyéb atomfizika, Elektromos dipólus
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2011/október: 2011. évi Nemzetközi Fizika Diákolimpia 3. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. 3. feladat. Ion szóródása semleges atomon (100 éves a Rutherford-atommodell) 3.1. A Coulomb-törvény alapján az elektromos térerősség a dipólus tengelyén, attól $r$ távolságra: $\begin{array}{c}{\displaystyle E_P=\frac{q}{4\pi {\epsilon }_0{\left(r-a\right)}^2}-\frac{q}{4\pi {\epsilon }_0{\left(r+a\right)}^2}=\frac{q}{4\pi {\epsilon }_0{r}^2}\left[{\left(1-\frac{a}{r}\right)}^{-2}-{\left(1+\frac{a}{r}\right)}^{-2}\right]\mathrm{.}}\end{array}$ Mivel $a/r\ll 1$, alkalmazhatjuk a kis $x$-ekre érvényes ${\left(1+x\right)}^n\approx 1+nx$ közelítést: $\begin{array}{c}{\displaystyle E_P=\frac{q}{4\pi {\epsilon }_0{r}^2}\left[\left(1+2\frac{a}{r}\right)-\left(1-2\frac{a}{r}\right)\right]=\frac{2qa}{2\pi {\epsilon }_0{r}^3}=\frac{p}{2\pi {\epsilon }_0{r}^3}\mathrm{.}}\end{array}$ Vektorokkal kifejezésre juttathatjuk a dipólus által keltett térerősség nagyságát és irányát is (a dipól tengelye mentén): $\begin{array}{c}{\displaystyle {\overrightarrow{E}}_P=\frac{\overrightarrow{p}}{2\pi {\epsilon }_0{r}^3}\mathrm{.}}\end{array}$   3.2. (Az eredeti ábra jelöléseivel) az ion által a semleges atom helyén létrehozott térerősség a Coulomb-törvény szerint $\begin{array}{c}{\displaystyle {\overrightarrow{E}}_{\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">ion</span>}}=-\frac{Q}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{\overrightarrow{r}}{r^3}\mathrm{,}}\end{array}$ így a neutrális atom $\begin{array}{c}{\displaystyle \overrightarrow{p}=\alpha {\overrightarrow{E}}_{\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">ion</span>}}=-\frac{\alpha Q}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{\overrightarrow{r}}{r^3}}\end{array}$ nagyságú és irányú elektromos dipólmomentumra tesz szert. A 3.1. alkérdés végeredményét felhasználva ez a dipólmomentum az ion helyén $\begin{array}{c}{\displaystyle {\overrightarrow{E}}_P=\frac{1}{2\pi {\epsilon }_0{r}^3}\left(-\frac{\alpha Q}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{\overrightarrow{r}}{r^3}\right)=-\frac{\alpha Q}{8{\pi }^2{\epsilon }_0^2{r}^5}\frac{\overrightarrow{r}}{r}}\end{array}$ térerősséget hoz létre, így az ionra ható erő: $\begin{array}{c}{\displaystyle \overrightarrow{f}=Q{\overrightarrow{E}}_P=-\frac{\alpha Q^2}{8{\pi }^2{\epsilon }_0^2{r}^5}\frac{\overrightarrow{r}}{r}\mathrm{.}}\end{array}$ A kifejezésből leolvasható, hogy az erő $Q$ előjelétől függetlenül mindig a semleges atom felé mutat, vagyis vonzó jellegű.   3.3. Az egymástól $r$ távolságra levó ion és atom kölcsönhatási energiája egy előjeltől eltekintve azzal a munkával egyezik meg, amennyit a két részecske ,,végtelen messzire'' történő eltávolítása során végzünk: $\begin{array}{c}{\displaystyle U\left(r\right)=-\underset{r}{\overset{\infty }{\int }}|\overrightarrow{f}\left(\overrightarrow{r}\text{'}\right)|\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">d</span>}r\text{'}=-\frac{\alpha Q^2}{8{\pi }^2{\epsilon }_0^2}\underset{r}{\overset{\infty }{\int }}\frac{1}{r{\text{'}}^5}\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">d</span>}r\text{'}=\frac{\alpha Q^2}{32{\pi }^2{\epsilon }_0^2}{\left[\frac{1}{r{\text{'}}^4}\right]}_r^{\infty }=-\frac{\alpha Q^2}{32{\pi }^2{\epsilon }_0^2{r}^4}\mathrm{.}}\end{array}$   3.4. A centrális erőtér miatt a mozgó ion perdülete az atom helyére vonatkoztatva megmarad. Amikor az ion legközelebb kerül az atomhoz, a sebességének nagysága maximális, iránya pedig merőleges a helyvektorára, így $m{v}_{0}b=m{v}_{\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">max</span>}}{r}_{\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">min</span>}}$. A mechanikai energiamegmaradás szerint $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1}{2}m{v}_0^2=\frac{1}{2}m{v}_{\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">max</span>}}^2-\frac{\alpha Q^2}{32{\pi }^2{\epsilon }_0^2{r}_{\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">min</span>}}^4}\mathrm{.}}\end{array}$ E két egyenletből a minimális távolságra a  $\begin{array}{c}{\displaystyle {\left(\frac{r_{\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">min</span>}}}{b}\right)}^4-{\left(\frac{r_{\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">min</span>}}}{b}\right)}^2+\frac{\alpha Q^2}{16{\pi }^2{\epsilon }_0^{2}m{v}_0^2{b}^4}=\mathrm{0,}}\end{array}$ egyenletre jutunk, amely $r_{\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">min</span>}}^2$-ben másodfokú. Az egyenlet megoldásai: $\begin{array}{c}{\displaystyle r_{\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">min</span>}}=\frac{b}{\sqrt[]{2}}\sqrt[]{1\pm \sqrt[]{1-\frac{\alpha Q^2}{4{\pi }^2{\epsilon }_0{}^{2}m{v}_0^2{b}^4}}}\mathrm{.}}\end{array}$ Ha $Q=0$, akkor az ion egyenes pályán, $b$ távolságra halad el a semleges atom mellett, így a két gyök közül a nagyobbat kell megtartanunk. Az ion és az atom közötti legkisebb távolság tehát $\begin{array}{c}{\displaystyle r_{\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">min</span>}}=\frac{b}{\sqrt[]{2}}\sqrt[]{1+\sqrt[]{1-\frac{\alpha Q^2}{4{\pi }^2{\epsilon }_0{}^{2}m{v}_0^2{b}^4}}}\mathrm{.}}\end{array}$   3.5. Ha a $b$ impakt paraméter elég nagy, az előző kérdésben kiszámított $r_{\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">min</span>}}$ távolságra közelíti meg az ion az atomot. A $b$ paraméter csökkentésével azonban az $r_{\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">min</span>}}$-re kapott kifejezésben a négyzetgyökjel alatt negatív érték adódik, azaz nincs minimális távolság az ion és az atom között: az ion spirális pályán a semleges atomba csapódik. Ez akkor következik be, ha $\begin{array}{c}{\displaystyle b<b_0={\left(\frac{\alpha Q^2}{4{\pi }^2{\epsilon }_0{}^{2}m{v}_0^2}\right)}^{\frac{1}{4}}\mathrm{,}}\end{array}$ így az ion befogásának hatáskeresztmetszete $\begin{array}{c}{\displaystyle A=\pi b_0^2=\pi {\left(\frac{\alpha Q^2}{4{\pi }^2{\epsilon }_0{}^{2}m{v}_0^2}\right)}^{\frac{1}{2}}=\frac{|Q|}{2{\epsilon }_0{v}_0}\sqrt[]{\frac{\alpha }{m}}\mathrm{.}}\end{array}$   Megjegyzés. A 3.4. és 3.5. alkérdésekben tárgyaltak grafikusan is szemléltethetők az ún. effektív potenciál segítségével. Ha az energiamegmaradást kifejező $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1}{2}m\left(v_r^2+r^2{\omega }^2\right)+U\left(r\right)=E\left(=\frac{1}{2}m{v}_0^2\right)}\end{array}$ egyenletből a szögsebességet kiküszöböljük a perdületmegmaradás