A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. 3. feladat. Ion szóródása semleges atomon (100 éves a Rutherford-atommodell) 3.1. A Coulomb-törvény alapján az elektromos térerősség a dipólus tengelyén, attól távolságra: | | Mivel , alkalmazhatjuk a kis -ekre érvényes közelítést: | | Vektorokkal kifejezésre juttathatjuk a dipólus által keltett térerősség nagyságát és irányát is (a dipól tengelye mentén):
3.2. (Az eredeti ábra jelöléseivel) az ion által a semleges atom helyén létrehozott térerősség a Coulomb-törvény szerint így a neutrális atom nagyságú és irányú elektromos dipólmomentumra tesz szert. A 3.1. alkérdés végeredményét felhasználva ez a dipólmomentum az ion helyén | | térerősséget hoz létre, így az ionra ható erő: A kifejezésből leolvasható, hogy az erő előjelétől függetlenül mindig a semleges atom felé mutat, vagyis vonzó jellegű.
3.3. Az egymástól távolságra levó ion és atom kölcsönhatási energiája egy előjeltől eltekintve azzal a munkával egyezik meg, amennyit a két részecske ,,végtelen messzire'' történő eltávolítása során végzünk: | |
3.4. A centrális erőtér miatt a mozgó ion perdülete az atom helyére vonatkoztatva megmarad. Amikor az ion legközelebb kerül az atomhoz, a sebességének nagysága maximális, iránya pedig merőleges a helyvektorára, így . A mechanikai energiamegmaradás szerint | | E két egyenletből a minimális távolságra a | | egyenletre jutunk, amely -ben másodfokú. Az egyenlet megoldásai: | | Ha , akkor az ion egyenes pályán, távolságra halad el a semleges atom mellett, így a két gyök közül a nagyobbat kell megtartanunk. Az ion és az atom közötti legkisebb távolság tehát | |
3.5. Ha a impakt paraméter elég nagy, az előző kérdésben kiszámított távolságra közelíti meg az ion az atomot. A paraméter csökkentésével azonban az -re kapott kifejezésben a négyzetgyökjel alatt negatív érték adódik, azaz nincs minimális távolság az ion és az atom között: az ion spirális pályán a semleges atomba csapódik. Ez akkor következik be, ha így az ion befogásának hatáskeresztmetszete | |
Megjegyzés. A 3.4. és 3.5. alkérdésekben tárgyaltak grafikusan is szemléltethetők az ún. effektív potenciál segítségével. Ha az energiamegmaradást kifejező | | egyenletből a szögsebességet kiküszöböljük a perdületmegmaradás törvényének felhasználásával, akkor a sugár irányú (radiális) mozgásra kapunk egyenletet: A zárójelben álló kifejezést effektív potenciálnak szokták nevezni. a két részecske valódi (vonzó jellegű) kölcsönhatási energiája mellett tartalmaz egy ‐ a perdület nagyságától is függő ‐ taszító (,,centrifugális'') potenciális energiát is. Az ion-atom távolság időbeli változása éppen úgy zajlik le, mint egy tömegpont egydimenziós mozgása potenciállal megadott erőtérben. (Kicsit erőltetett hasonlattal: ahogy egy golflabda gurul az függvénnyel megadott domborzati viszonyok között.) Jelen esetben az effektív potenciál alakú, ahol és a feladatban szereplő paraméterekkel kifejezhető pozitív állandók (2. ábra). A nagy távolságból érkező, energiájú ion radiális sebessége ott válik nullává, ahol Ez a feltétel a korábban kiszámított értéknél és egy ennél kisebb -nál is fennáll. Az ion (ha csak a radiális mozgását nézzük) nyilván távolságnál ,,fordul vissza'', a potenciálhegy tartományába egyáltalán el sem jut. (Érdekes, hogy a kvantumelméletben nem ez a helyzet: a hullámként viselkedő ion ,,át tud bújni'' a potenciálhegy alatt, és még akkor is eljut az atomig, amikor ezt a klasszikus fizika szerint nem tehetné meg. Ez a furcsa jelenség az ún. alagúteffektus.)
2. ábra Az -os fordulópontnak is van fizikai jelentése: ha az ion nem végtelen messziről, hanem az atom közeléből, az atomtól távolodva indulna, akkor nem tudna tetszőleges messze eljutni, hanem -nál a radiális mozgás visszafordulna (tehát ez az érték lenne az atom és az ion közötti maximális távolság.) Ha a paraméter (és az ezzel arányos perdület) nem elég nagy, akkor az effektív potenciál maximumának értéke az energia alá kerül. Ilyenkor a messziről érkező részecske ‐ már a klasszikus fizika törvényei szerint is ‐ beleesik az atomba. (G. P.)
|
|