A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. 1. feladat. Egy háromtest-probléma és a LISA 1.1. A két tömegpont mozgásegyenlete: Bármelyik egyenletet rendezve, és felhasználva, hogy a keresett szögsebesség
1.2. A tömeg infinitezimálisan kicsi, ezért gravitációs ereje nem befolyásolja a másik két test mozgását.
1. ábra A tömegű testet is a rá ható gravitációs erők eredője tartja körpályán (1. ábra): vagyis | | Másrészt a tömegközéppont definíciója szerint amit behelyettesítve, és egyszerűsítve | | A fenti egyenlet két oldalán és együtthatói külön-külön meg kell egyezzenek, ahonnan adódik, vagyis a három test egy szabályos háromszög csúcsain helyezkedik el. A koszinusztétel alapján | |
Ezek szerint 1.2.1. és távolsága: , 1.2.2. és távolsága: , 1.2.3. és a tömegközéppont távolsága: .
1.3. A feladat az egyensúlyi helyzet körüli kis rezgések körfrekvenciájának meghatározása volt. Ehhez a versenyzők azt az útmutatást kapták, hogy tételezzék fel a rezgő test perdületének megmaradását. Ebből kiindulva és még az energia megmaradását is felírva hosszas számolás után az eredmény kapható (lásd a http://www.ipho2011.org/contents/problems_solutions honlapon a ,,hivatalos'' megoldást). Sajnos ez a megoldás hibás! A korlátozott háromtest-problémában (amikor az egyik test tömege elhanyagolhatóan kicsi a másik kettőé mellett) sem a kis test perdülete, sem a mechanikai energiája nem megmaradó mennyiség! Ténylegesen még a vizsgált pont stabilitása sem valósul meg, ha ; márpedig a feladatban a speciális esetet kellett volna vizsgálni. Ekkor a kérdéses pont (a szabályos háromszög egyik csúcspontja) körül egyáltalán nem alakulhatnak ki harmonikus rezgések!
1.4. Az űrhajók egymás körül is szögsebességgel keringenek, így a relatív sebességük ahol a ,,karok'' hossza, pedig a Föld keringési ideje. Behelyettesítve |
|