Feladat:	2010. évi Nemzetközi Fizika Diákolimpia 2. feladata	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	2010/október, 426 - 429. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Nemzetközi Fizika Diákolimpia, Hőáramlás (konvekció), Bernoulli-törvény
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2010/szeptember: 2010. évi Nemzetközi Fizika Diákolimpia 2. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   2. feladat. Kéményfizika   1. részfeladat. $a)$ Mekkora minimális magasság mellett működik hatékonyan a kémény? Jelölje $p\left(z\right)$ a külső légnyomást $z$ magasságban. Jó közelítéssel: $\begin{array}{c}{\displaystyle p\left(z\right)=p\left(0\right)-{\varrho }_{\text{levegő}}gz\mathrm{,}}\end{array}$ (1) ahol $p$(0) a talajszinti légnyomás. A kéményben áramló füstre alkalmazhatjuk a Bernoulli-törvényt: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1}{2}{\varrho }_{\text{füst}}v{\left(z\right)}^2+{\varrho }_{\text{füst}}gz+p_{\text{füst}}\left(z\right)=\text{állandó,}}\end{array}$ (2) ahol $p_{\text{füst}}\left(z\right)$ a füst nyomása $z$ magasságban, ${\varrho }_{\text{füst}}$ a füst sűrűsége, és $v\left(z\right)$ jelöli a füst sebességét. (Felhasználtuk azt a közelítést, hogy a füst sűrűsége nem változik a kéményben.) A Bernoulli-törvény segítségével két pontot hasonlítunk össze; a talajszinten lévő kazánt (ahol a füst jó közelítéssel még nem mozog) és a kémény tetőpontját. A kémény akkor működik, ha a felső nyílásában a nyomás nagyobb (vagy egyenlő), mint a külső légnyomás (1). Minimális kéménymagasságnál az egyenlőség teljesül: ${\displaystyle \begin{array}{ccc}\hfill {\displaystyle }& {\displaystyle \frac{1}{2}{\varrho }_{\text{füst}}v{\left(h\right)}^2+{\varrho }_{\text{füst}}gh+p_{\text{füst}}\left(h\right)=}\hfill & \text{(<mn>3</mn>)}\\ \hfill {\displaystyle =}& {\displaystyle \frac{1}{2}{\varrho }_{\text{füst}}v{\left(h\right)}^2+{\varrho }_{\text{füst}}gh+p\left(0\right)-{\varrho }_{\text{levegő}}gh\approx p\left(0\right)\mathrm{,}}\hfill \end{array}}$ amiből kiszámíthatjuk a füst sebességét: $\begin{array}{c}{\displaystyle v\left(h\right)=\sqrt[]{2gh\left(\frac{{\varrho }_{\text{levegő}}}{{\varrho }_{\text{füst}}}-1\right)}\mathrm{.}}\end{array}$ (4) A kémény akkor működik hatékonyan, ha a kazánból származó összes égéstermék kijut a légkörbe a kémény tetején, vagyis $\begin{array}{c}{\displaystyle v\left(h\right)\ge \frac{B}{A}\mathrm{.}}\end{array}$ (5) A (4) és (5) egyenletek összevetésével a kémény magasságára a következő feltételt kapjuk: $\begin{array}{c}{\displaystyle h\ge \frac{B^2}{A^2}\frac{1}{2g}\frac{1}{\frac{{\varrho }_{\text{levegő}}}{{\varrho }_{\text{füst}}}-1}\mathrm{.}}\end{array}$ (6) A kazánban a füstöt ideális gázként kezeljük, melynek nyomása a talajszinti $p\left(0\right)$ légnyomás. Így a levegő és a füst sűrűsége között a következő összefüggés írható fel: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{{\varrho }_{\text{levegő}}}{{\varrho }_{\text{füst}}}=\frac{T_{\text{füst}}}{T_{\text{levegő}}}\mathrm{,}}\end{array}$ (7) melynek segítségével megkaphatjuk a kémény minimális magasságát: $\begin{array}{c}{\displaystyle h\ge \frac{B^2}{A^2}\frac{1}{2g}\frac{T_{\text{levegő}}}{T_{\text{füst}}-T_{\text{levegő}}}=\frac{B^2}{A^2}\frac{1}{2g}\frac{T_{\text{levegő}}}{\Delta T}=h_{\underset{}{\overset{}{\text{min}}}}\mathrm{.}}\end{array}$ (8) $b)$ Milyen magas a meleg vidéken épült kémény? A (8) összefüggés alapján: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{h_{\text{meleg}}}{h_{\text{hideg}}}=\frac{\frac{T_{\text{meleg}}}{T_{\text{füst}}-T_{\text{meleg}}}}{\frac{T_{\text{hideg}}}{T_{\text{füst}}-T_{\text{hideg}}}}\Rightarrow h_{\text{meleg}}=145\text{m. }}\end{array}$ (9) $c)$ Hogyan változik a gázok sebessége a kéményben? A (4) és a (7) összefüggések alapján láthatjuk, hogy a kéményben a füst sebessége: $\begin{array}{c}{\displaystyle v\left(h\right)=\sqrt[]{2gh\left(\frac{{\varrho }_{\text{levegő}}}{{\varrho }_{\text{füst}}}-1\right)}=\sqrt[]{2gh\left(\frac{T_{\text{füst}}}{T_{\text{levegő}}}-1\right)}=\sqrt[]{2gh\left(\frac{\Delta T}{T_{\text{levegő}}}\right)}\mathrm{.}}\end{array}$ (10) Mivel abban a közelítésben dolgozunk, ahol a füst sűrűsége állandó, a kontinuitási egyenlet ($Av=\text{állandó}$) következménye az, hogy az állandó keresztmetszetű kéményben állandó a füst áramlási sebessége. Minimális kéménymagasság esetén ez az állandó sebesség: $v=B/A$. Vegyük észre, hogy a kazánban a füst még gyakorlatilag áll, majd a kéménybe történő belépéskor egy rövid szakaszon a füstgázok állandó értékre gyorsulnak fel. $d)$ Hogyan változik a kéményben a gáz nyomása a magasság függvényében? A Bernoulli-egyenletet alkalmazzuk a kémény tetejére és egy tetszőleges, $z$ magasságú pontra. Kihasználjuk, hogy a füstsebesség állandó: $\begin{array}{c}{\displaystyle p\left(h\right)+\frac{1}{2}{\varrho }_{\text{füst}}{v}^2+{\varrho }_{\text{füst}}gh=p\left(z\right)+\frac{1}{2}{\varrho }_{\text{füst}}{v}^2+{\varrho }_{\text{füst}}gz\mathrm{.}}\end{array}$ (11) Használjuk fel az (1) egyenletet $p\left(h\right)$ kifejezésére: $p\left(h\right)=p\left(0\right)-{\varrho }_{\text{levegő}}gh$, és fejezzük ki a kérdéses nyomást: $\begin{array}{c}{\displaystyle p\left(z\right)=p\left(0\right)-\left({\varrho }_{\text{levegő}}-{\varrho }_{\text{füst}}\right)gh-{\varrho }_{\text{füst}}gz\mathrm{.}}\end{array}$ (12) Láthatjuk, hogy a talajszinten ($z=0$) a kéményben a nyomás kisebb a külső légnyomásnál, vagyis amikor a füst a kazánból a kéménybe jut, akkor nemcsak a sebessége változik (növekszik), a nyomása is ugrásszerűen lecsökken.   2. részfeladat. $a)$ Mennyi a napkémény hatásfoka? A kémény által $\Delta t$ idő alatt kibocsátott forró levegő mozgási energiája így írható fel a (10) összefüggés segítségével: $\begin{array}{c}{\displaystyle E_{\text{mozg}}=\frac{1}{2}\left(Av\Delta t{\varrho }_{\text{forró}}\right)v^2=\left(Av\Delta t{\varrho }_{\text{forró}}\right)gh\frac{\Delta T}{T_{\text{levegő}}}\mathrm{.}}\end{array}$ (13) Jelöljük a kémény léghozamát $w$-vel, ami megmutatja a kéményen másodpercenként áthaladó levegő tömegét ($w=\frac{\Delta m}{\Delta t}=Av{\varrho }_{\text{forró}}$). A kémény teljesítménye így fejezhető ki $w$-vel: $\begin{array}{c}{\displaystyle P_{\text{hasznos}}=wgh\frac{\Delta T}{T_{\text{levegő}}}\mathrm{.}}\end{array}$ (14) A napsugárzás által leadott teljesítmény a $G$ napállandótól és az $S$ felülettől függ: $\begin{array}{c}{\displaystyle P_{\text{sugárzás}}=GS=wc\Delta T\mathrm{,}}\end{array}$ (15) ahol $c$ a levegő fajhője. Így a napkémény maximális elméleti hatásfoka: $\begin{array}{c}{\displaystyle \eta =\frac{P_{\text{hasznos}}}{P_{\text{sugárzás}}}=\frac{gh}{c{T}_{\text{levegő}}}\mathrm{.}}\end{array}$ (16) $b)$ Hogyan függ a hatásfok a magasságtól? A magasságfüggés lineáris.   3. részfeladat. $a)$ Mekkora a Manzanares-ben épült napkémény hatásfoka? A hatásfok: $\begin{array}{c}{\displaystyle \eta =\frac{gh}{c{T}_{\text{levegő}}}=0\mathrm{,}0064=0\mathrm{,}64\%\mathrm{.}}\end{array}$ (17) $b)$ Mekkora teljesítménnyel működik a napkémény Manzanares-ben? A napkémény teljesítménye: $\begin{array}{c}{\displaystyle P=GS\eta =G\left(r^2\pi \right)\eta =45\text{kW. }}\end{array}$ (18) $c)$ Mennyi energiát állít elő egy napsütéses napon a manzanares-i napkémény? Ha napi nyolc óra napsütést tételezünk fel, akkor az előállított energia 360 kWh.   4. részfeladat. $a)$ Mekkora a napkéménybe lépő levegő hőmérséklet ugrása? Fejezzük ki a $w$ léghozamot a (10) és a (15) összefüggésekkel: ${\displaystyle \begin{array}{ccc}\hfill {\displaystyle w}& {\displaystyle =Av{\varrho }_{\text{forró}}=A\sqrt[]{2gh\frac{\Delta T}{T_{\text{levegő}}}}{\varrho }_{\text{forró}}\mathrm{,}}\hfill & \text{(<mn>19</mn>)}\\ \hfill {\displaystyle w}& {\displaystyle =\frac{GS}{c\Delta T}\mathrm{,}}\hfill \end{array}}$ amiből kifejezhetjük a $\Delta T$ hőmérsékletugrást: $\begin{array}{c}{\displaystyle \Delta T={\left(\frac{G^2{S}^2{T}_{\text{levegő}}}{A^2{c}^2{\varrho }_{\text{forró}}^{2}2gh}\right)}^{1/3}\approx 9\mathrm{,}1\text{K. }}\end{array}$ (20) $b)$ Mekkora a napkémény léghozama Manzanares-ben? A (19) ikerösszefüggés alapján: $\begin{array}{c}{\displaystyle w=760\text{kg/s. }}\end{array}$ (21)