Kezdőlap


Feladat:	2010. évi Nemzetközi Fizika Diákolimpia 1. feladata	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	2010/október, 422 - 426. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nemzetközi Fizika Diákolimpia, Megosztás, Pontszerű töltés térerőssége, Síkinga
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2010/szeptember: 2010. évi Nemzetközi Fizika Diákolimpia 1. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Elméleti feladatok

1. feladat. Tükörtöltés egy fémtárgyban

1. részfeladat.

a)

Mekkora az elektromos potenciál értéke a gömbön?
Mivel a gömb földelt, az elektromos potenciál a felszínén zérus.

b)

A tükörtöltés

q'

nagyságának és

r'

helyzetének meghatározása.
A feladat nem követeli meg a tükörtöltés módszerének igazolását, csupán a tükörtöltés nagyságának és helyzetének meghatározását kéri a módszer ismeretében. E két paraméter meghatározásához elegendő, ha a gömb két különböző pontjában előírjuk, hogy az elektromos potenciál legyen zérus. Célszerű a két töltés egyenesén fekvő

G

és

H

pontot választani (1. ábra):

\begin{matrix} Φ_{G} & = \frac{1}{4 π ε_{0}} (\frac{q}{d - R} + \frac{q'}{R - d'}) = 0, \\ Φ_{H} & = \frac{1}{4 π ε_{0}} (\frac{q}{d + R} + \frac{q'}{d' + R}) = 0. \end{matrix}

Egyszerűen adódik, hogy az egyenletrendszer megoldása

q'

-re és

d'

-re:

\begin{matrix} q' = - q \frac{R}{d}, d' = \frac{R^{2}}{d} . \end{matrix}

1. ábra. A töltés, a tükörtöltés és a földelt fémgömb

Megjegyzés. A kapott eredményhez két elemi geometriai tétel is kapcsolódik. Egyrészt, mivel

d d' = R^{2}

, a töltést és a tükörtöltést egy olyan inverzió (gömbi tükrözés) viszi át egymásba, melynek alapgömbje a földelt fémgömb. Másrészt, az a tény, hogy a két töltés eredő potenciálja a gömbön nulla, azt jelenti, hogy a gömb pontjainak a két töltéstől mért távolságaránya állandó, tehát a gömb a két töltéshez tartozó Apollóniusz-gömb.

c)

Mekkora erő hat a

q

töltésre?
Minthogy a fémgömb elektromos tere a gömbön kívül megegyezik a

q'

tükörtöltés terével, a gömb és a

q

töltés közti erő megegyezik a

q

és

q'

töltések között ható Coulomb-erővel:

\begin{matrix} F = \frac{1}{4 π ε_{0}} \frac{q \cdot | q' |}{{(d - d')}^{2}} = \frac{1}{4 π ε_{0}} \frac{q^{2} R d}{{(d^{2} - R^{2})}^{2}} . \end{matrix}

Mivel

q

és

q'

ellentétes előjelűek, ezért a köztük ható

F

erő vonzó.

2. részfeladat.

a)

Mekkora az

A

pontban az elektromos térerősségvektor?

2. ábra. Az

A

pontban a földelt gömb részlegesen leárnyékolja az elektromos teret

A földelt gömb hatását helyettesíthetjük a

q'

tükörtöltéssel, így az elektromos tér két ponttöltés terének eredőjeként adódik:

\begin{matrix} E_{A} = \frac{1}{4 π ε_{0}} (\frac{q}{r^{2}} - \frac{q'}{{(r - d + d')}^{2}}) e_{A} = \frac{q}{4 π ε_{0}} (\frac{1}{r^{2}} - \frac{R d}{{(r d + R^{2} - d^{2})}^{2}}) e_{A}, \end{matrix}

ahol

e_{A}

q

töltéstől

A

-ba mutató egységvektor.

b)

Hogyan közelíthető ez a formula, ha

r ≫ d

?
Ha

r ≫ d

, akkor az előző formula második tagja:

\begin{matrix} \frac{R d}{{(r d + R^{2} - d^{2})}^{2}} = \frac{R}{r^{2} d} {(1 - \frac{d}{r} + \frac{R^{2}}{r d})}^{- 2} \approx \frac{R}{r^{2} d} (1 + \frac{2 d}{r} - \frac{2 R^{2}}{r d}) . \end{matrix}

Ezt felhasználva az elektromos térerősségre az

\begin{matrix} E_{A} \approx \frac{q}{4 π ε_{0} r^{2}} (1 - \frac{R}{d} + \frac{2 R}{r} (\frac{R^{2}}{d^{2}} - 1)) e_{A} \end{matrix}

közelítő formula adódik. Látható, hogy a fémgömb árnyékoló hatása mellett is nagy távolság esetén a távolság négyzetével csökken az elektromos térerősség.

c)

Mi a feltétele a teljes leárnyékolásnak?
A korábban levezetett képletekből látható, hogy a

d \to R

határesetben válna teljessé a leárnyékolás.

3. részfeladat.

a)

Mekkora és milyen irányú a kitérített ingára ható elektrosztatikus erő?

3. ábra. Az

α

szöggel kitérített inga és a rá ható tükörtöltés

A fémgömb által kifejtett erő megegyezik a töltés és a tükörtöltés között fellépő Coulomb-erővel. Az

O A P

háromszögre felírt koszinusztétel alapján

\begin{matrix} d = \sqrt[]{l^{2} + L^{2} - 2 l L cos α} . \end{matrix}

Így a

q

töltésre ható erő nagysága:

\begin{matrix} F = \frac{1}{4 π ε_{0}} \frac{q q'}{{(d - d')}^{2}} = \frac{1}{4 π ε_{0}} \frac{q^{2} R d}{{(d^{2} - R^{2})}^{2}} = \frac{1}{4 π ε_{0}} \frac{q^{2} R \sqrt[]{l^{2} + L^{2} - 2 l L cos α}}{{(l^{2} + L^{2} - 2 l L cos α - R^{2})}^{2}} . \end{matrix}

Az erő a gömb középpontja felé mutat.

b)

Mekkora az erő fonalra merőleges komponense?
Az

O A P

háromszög

P

csúcsnál levő külső szöge

α + β

, így a keresett komponens

F_{⊥} = F sin (α + β)

. A szinusztétel alapján

sin (α + β) = \frac{l}{d} sin α

, így:

\begin{matrix} F_{⊥} = F \frac{l}{d} sin α = \frac{1}{4 π ε_{0}} \frac{q^{2} R l sin α}{{(l^{2} + L^{2} - 2 l L cos α - R^{2})}^{2}} . \end{matrix}

c)

Mennyi az inga kis rezgéseinek frekvenciája?
A matematikai inga mozgásegyenlete

m L \ddot{α} = - F_{⊥}

. Kicsiny kitérések esetén

sin α \approx α

cos α \approx 1

, így a mozgásegyenlet alakja ekkor:

\begin{matrix} m L \ddot{α} = - \frac{1}{4 π ε_{0}} \frac{q^{2} R l}{{({(l - L)}^{2} - R^{2})}^{2}} α, \end{matrix}

ahonnan a kis rezgések körfrekvenciája:

\begin{matrix} ω = \frac{q}{{(l - L)}^{2} - R^{2}} \sqrt[]{\frac{R l}{4 π ε_{0} m L}} . \end{matrix}

4. részfeladat.
A feladatnak talán ez a része a legérdekesebb, mert ügyes gondolatmenetekkel szinte számolás nélkül megoldható. Jelölje

E_{kölcs}

q

töltés és a polarizált gömb közti elektrosztatikus kölcsönhatási energiát, legyen

E_{gömb}

a gömbön polarizált töltéseloszlás elektrosztatikus energiája, és

E_{össz}

a teljes rendszer energiája. A feladat három alkérdésben e három energia meghatározását kéri. Világos, hogy

\begin{matrix} E_{össz} = E_{kölcs} + E_{gömb}, \end{matrix}

tehát bármely két energia ismeretében a harmadik könnyen meghatározható. Mi most egymástól függetlenül határozzuk meg a három energiát, és a végén ellenőrizzük, hogy teljesül rájuk a fenti feltétel.

a)

Mennyi a

q

töltés és a gömbön levő töltések közti

E_{kölcs}

elektrosztatikus kölcsönhatási energia?
Ez a kölcsönhatási energia negatív, hiszen a

q

töltés és a gömb vonzzák egymást. A kölcsönhatási energia abszolút értéke megegyezik azzal a munkával, melyet a gömb vonzása ellenében végeznünk kell, hogy a

q

töltést a végtelenbe távolítsuk, miközben a töltések a gömbön nem mozdulnak el. A gömbön polarizált töltés hatása a gömbön kívül pont olyan, mint a

q'

tükörtöltésé, tehát úgy is képzelhetjük, hogy

q

-t a rögzített

q'

tükörtöltéstől távolítjuk el. Így a kölcsönhatási energia megegyezik a

q

és

q'

közti elektrosztatikus energiával:

\begin{matrix} E_{kölcs} = \frac{1}{4 π ε_{0}} \frac{q q'}{d - d'} = - \frac{1}{4 π ε_{0}} \frac{q^{2} R}{d^{2} - R^{2}} . \end{matrix}

b)

Mennyi a gömbön levő töltéselrendeződés

E_{gömb}

elektrosztatikus energiája?
Gondolatban tekintsük a polarizált gömböt sok kis

q_{i}

töltésből álló rendszernek, melyek a gömbfelszín

r_{i}

pontjaiban vannak. A keresett energia a párkölcsönhatási energiák összege:

\begin{matrix} E_{gömb} = \sum_{i < j}^{} E_{i, j} = \frac{1}{2} \sum_{i}^{} \sum_{j \neq i}^{} E_{i, j}, \end{matrix}

ahol

\begin{matrix} E_{i, j} = \frac{1}{4 π ε_{0}} \frac{q_{i} q_{j}}{| r_{i} - r_{j} |} = q_{i} Φ_{j} (r_{i}) = q_{j} Φ_{i} (r_{j}) . \end{matrix}

(Itt

Φ_{i} (r)

q_{i}

töltés elektromos potenciálját jelöli az

r

helyen.) Ezt felhasználva:

\begin{matrix} E_{gömb} = \frac{1}{2} \sum_{i}^{} q_{i} \sum_{j}^{} Φ_{j} (r_{i}) . \end{matrix}

De a gömb felszínén, illetve azon kívül a polarizált töltésrendszer hatása helyettesíthető a tükörtöltés hatásával, tehát

\sum_{j} Φ_{j} (r_{i}) = Φ_{q'} (r_{i})

. Így

\begin{matrix} E_{gömb} = \frac{1}{2} \sum_{i}^{} q_{i} Φ_{q'} (r_{i}) = \frac{q'}{2} \sum_{i}^{} Φ_{i} (d') . \end{matrix}

A fémgömbben, a tükörtöltés

d'

helyén a zérus elektromos potenciált a gömbön polarizált töltések és a gömbön kívül a

d

pontban található

q

töltés potenciáljának szuperpozíciója alakítja ki, tehát

\sum_{i} Φ_{i} (d') = - Φ_{q} (d')

. Ezt felhasználva végül:

\begin{matrix} E_{gömb} = - \frac{q'}{2} Φ_{q} (d') = \frac{- 1}{2} E_{q, q'} = \frac{- 1}{2} E_{kölcs} = \frac{1}{8 π ε_{0}} \frac{q^{2} R}{d^{2} - R^{2}} . \end{matrix}

Látható, hogy az eredményhez az összegzéseket ténylegesen nem kellett elvégeznünk, csak ügyes okoskodásokra, a tükörtöltés módszer és a szuperpozíció elv pontos ismeretére volt szükségünk.

c)

Mennyi a rendszer teljes elektrosztatikus energiája?
A teljes kölcsönhatási energia negatív, abszolút értéke megegyezik azzal a munkával, ami a

q

töltésnek a földelt fémgömbtől végtelen meszire való eltávolításához szükséges, miközben a fémgömbön is szabadon vándorolhatnak a töltések. Az 1. részfeladat

c)

pontjában már meghatároztuk a gömb középpontjától

d

távolságra levő

q

töltésre ható

F (d)

erőt, tehát

\begin{matrix} E_{össz} & = - \int_{x = d}^{\infty} F (x) d x = - \frac{q^{2} R}{4 π ε_{0}} \int_{x = d}^{\infty} \frac{x}{{(x^{2} - R^{2})}^{2}} d x = \\ = \frac{q^{2} R}{8 π ε_{0}} {[\frac{1}{x^{2} - R^{2}}]}_{x = d}^{\infty} = - \frac{1}{8 π ε_{0}} \frac{q^{2} R}{d^{2} - R^{2}} . \end{matrix}

Látható, hogy teljesül az

E_{össz} = E_{kölcs} + E_{gömb}

egyenlőség, és az energiák aránya

\begin{matrix} E_{össz} : E_{kölcs} : E_{gömb} = (- 1) : (- 2) : (+ 1) . \end{matrix}