Feladat:	326. fizika mérési feladat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Juhász Péter
Füzet:	2013/február, 118 - 119. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Mérési feladat, Elektromos mérés
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2012/október: 326. fizika mérési feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. A mérésnél felhasznált eszközök: 2 db rúdmágnes; hosszú zsinór a felső mágnes felfüggesztéséhez; szögmérő; mérőszalag.   A mérés előkészítése, menete: A méréshez beszereztem két igen erős neodímium mágnest. Mivel az iskola szertárában lévő, muzeális értékű iránytűkre nem támaszkodhattam, azért a mérési elrendezésen is módosítottam egy kicsit. Felfüggesztettem az egyik mágnest (ez volt az ,,iránytű'') a másik, földön hagyott mágnestől $x$ magasságra, minden fémtárgytól elég távol. Ismert, hogy egy adott anyagú torziós szál direkciós nyomatéka csökken a szál hosszának csökkenésével, így az iránytűként szolgáló mágnest egy meglehetősen hosszú zsinórra függesztettem fel, így annak befolyása a  mérésre ‐ remélhetően ‐ elhanyagolhatóvá vált. A két mágnes középpontjának $x$ távolságát mérőszalaggal mértem, és ügyeltem, hogy e kettő középpont által meghatározott egyenes éppen a függőlegessel essék egybe. Az alsó mágnest így kézzel tudtam forgatni, és az elrendezésnek az volt az előnye, hogy a mágnes és a föld közötti súrlódás folytán a mágnes úgy is maradt, ahogyan beállítottam. Az alsó mágnes alá egy fokbeosztásos papírt tettem, és erről tudtam leolvasni, hogy az alsó mágnes adott szögű elforgatásánál a felső mágnes milyen irányba állt be. Az alsó mágnes körbeforgatása közben figyeltem az iránytű viselkedését (ld. lentebb). Ezen kívül feljegyeztem még, hogy az alsó mágnes ${90}^{\circ }$-kal történő elforgatása után a felső mágnes (különböző magasságok esetén) milyen irányban $\left(\alpha \right)$ állapodik meg. Az egyes szögek leolvasása előtt megvártam, míg a felfüggesztett mágnes torziós lengései teljesen lecsillapodnak, és a mágnes megáll.   A mérési adatok: Az $x$ távolságot 12 cm és 34 cm között változtatva megmértem az $\alpha$ szögeket. A mérési adatokat táblázatba foglaltam és mellékeltem. (Ezek minden mérési jegyzőkönyv lényeges részét képezik, de itt nem közöljük. ‐ A Szerk.)   Elméleti megfontolások. A következő közelítéssel élünk: feltesszük, hogy a mágnes tere a mágnesen kívül a mágnes közepébe tett dipóllal modellezhető. Ezen dipól dipólmomentuma legyen $p$. Megmutatható, hogy a dipóltól (viszonylag nagy) $x$ távolságban a mágneses indukcióvektor nagysága $\begin{array}{c}{\displaystyle B\left(x\right)=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{p}{x^3}\mathrm{.}}\end{array}$ Ha ez a vektor merőleges a Föld $B_0$ nagyságú mágneses indukciójára, akkor a felfüggesztett mágnes (az ,,iránytű'') északi iránytól való eltérésének $\alpha$ szögére fennáll: $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{tg}\alpha =\frac{B\left(x\right)}{B_0}=\frac{{\mu }_{0}p}{4\pi B_0}\cdot \frac{1}{x^3}\mathrm{.}}\end{array}$   Az adatok kiértékelése: Az elméleti megfontolások szerint $\text{tg}\alpha$-t $1/x^3$ függvényében ábrázolva egyenes arányosságot várhatunk. Ezt az ábrázolást és egyenes illesztést Excel program segítségével elvégeztem. Az illesztett egyenes $m=0\mathrm{,}017\left[{\text{m}}^3\right]$ meredekségéből és a $B_0\approx 50\mu$T ismert adat felhasználásával az alkalmazott mágnes dipólerősségére $p=8\mathrm{,}5{\text{A m}}^2$-t, tehát meglehetősen nagy értéket kaptam.   Az iránytű beállásának vizsgálata általános esetben: Általános esetben az alul elhelyezett mágnes zárjon be $\beta$ szöget az eredeti helyzetével! A korábbi elméleti megfontolásokat felhasználva megmutattam, hogy az iránytű $\alpha$ kitérésére $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{tg}\alpha =\frac{m\text{sin}\beta }{x^3+m\text{cos}\beta }}\end{array}$ összefüggésnek megfelelő értékeket várhatunk. A fenti összefüggés szerint nagyobb távolságok esetén az iránytű csak kicsit tér ki. Ez a megfigyeléseim szerint teljesült is. Minél közelebb volt az iránytűhöz a mágnes, az iránytű annál inkább ,,követte'' a mágnes mozgását. Amikor viszont a két mágnest elkezdtem távolítani, és ilyen helyzetben forgattam körül az alsó mágnest, akkor viszont egészen érdekesen viselkedett az iránytű. Egy ideig tőle ,,lemaradva'', de követte a másik mágnest, majd egy bizonyos $\beta$ szögnél $\alpha$ elkezdett gyorsan csökkenni. Ez a visszafordulási pont az $x$ távolságtól érzékenyen függött. Említésre érdemes megfigyelés: az iránytű-mágnes viselkedése a  $0<\beta <{180}^{\circ }$ tartományban teljesen megegyezett a ${180}^{\circ }<\beta <{360}^{\circ }$ tartományban mutatott viselkedéssel. Az iránytű beállása az egyensúlyi helyzetére nézve szimmetrikus, de ellentétes irányú volt.   Hibaszámítás: Ha a mérés céljának ‐ az iránytű viselkedésének kvalitatív leírásán túl ‐ a $\beta \left(\alpha \right)$ függvénykapcsolat vizsgálatát, vagy a $p$ dipólerősség meghatározását tekintjük, ezek mérési hibája több forrásból is eredhet. Ilyen pl. a torziós szál direkciós nyomatékának elhanyagolása, a mágneses mező pontszerű dipól terével való közelítése, illetve a földmágnesség értékének bizonytalansága. Ezek, továbbá a szög- és távolságmérések leolvasási hibája és az egyenes-illesztés pontossága szerint a dipólmomentum értékének relatív hibáját kb. 20%-ra tehetjük.