Feladat:	4483. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	2013/február, 114 - 116. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Mozgó elektromos töltésre ható erő (Lorentz-erő), Relativisztikus impulzus, Egyéb részecskegyorsítók
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2012/november: 4483. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. A föld mágneses terének indukciója a mágneses egyenlítő mentén észak felé irányuló, $B=30\mu \text{T}=3\cdot {10}^{-5}$ T nagyságú vektor. A töltött részecskékre ható Lorentz-erő $F=evB$, ahol $v$ az adott részecske sebessége, $e$ a töltése (ennek abszolút értéke esetünkben az elemi töltés).   Ha a részecske $R$ sugarú körpályán egyenletes mozgást végez, és a mozgását a Newton-féle $F=ma$, vagyis $evB=m\frac{v^2}{R}$ mozgásegyenlettel írhatjuk le, a részecske sebességére a $\begin{array}{c}{\displaystyle v=\frac{eBR}{m}}\end{array}$ (1) összefüggést kapjuk. Ebből (az adatok behelyettesítése után) még a nagyobb tömegű, tehát kisebb sebességű protonra is $2\cdot {10}^{10}$ m/s nagyságú, tehát a vákuumbeli fénysebességet ($c$-t) kb. hatvanszorosan meghaladó (!) sebesség adódik, ami ‐ jelenlegi ismereteink szerint ‐ lehetetlen. Tanulság: a Newton-féle mozgásegyenlet helyett itt most a relativisztikus dinamika törvényeit kell alkalmaznunk. Eszerint az erő a $p$ impulzus (lendület) időegységre eső változásával egyenlő:   $\begin{array}{c}{\displaystyle F=\frac{\Delta p}{\Delta t}\mathrm{,}}\end{array}$   ahol $p$ a részecske nyugalmi tömegéből ($m_0$) és a sebességéből a $\begin{array}{c}{\displaystyle p=\frac{m_0\cdot v}{\sqrt[]{1-v^2/c^2}}}\end{array}$ összefüggés felhasználásával számítható ki. Ha a részecske körmozgást végez, akkor a $p$ nagyságú impulzusvektor is $\omega =v/R$ szögsebességgel fordul körbe, egy kicsiny $\Delta t$ idő alatti változása tehát $\Delta p=\omega \Delta t$, ahonnan a mozgásegyenlet: $\begin{array}{c}{\displaystyle F=p\frac{v}{R}\mathrm{,}}\end{array}$ azaz $\begin{array}{c}{\displaystyle p=eBR\mathrm{,}}\end{array}$ (2) tehát $\begin{array}{c}{\displaystyle v=eBR\frac{\sqrt[]{1-v^2/c^2}}{m_0}\mathrm{.}}\end{array}$ (3)   Megjegyzés. Látható, hogy a klasszikus fizika (1) egyenlete és a relativisztikus tárgyalás (3) egyenlete között ,,mindössze'' annyi a különbség, hogy a klasszikus tömeg helyébe a ,,megnövekedett'', ún. relativisztikus tömeget kell írni. Ez a (megnövekedett tömeggel történő, de a nemrelativisztikus formulákat használó) számolási eljárás azonban nem minden esetben alkalmazható. A mozgási energia klasszikus $m{v}^2/2$ képletének szerepét a relativisztikus tárgyalásban nem az   $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{m_0}{\sqrt[]{1-v^2/c^2}}\frac{v^2}{2}}\end{array}$ formula veszi át, ‐ mint azt sokan ‐ tévesen ‐ gondolják, hanem egy egészen más alakú kifejezés.   A (3) összefüggésből kifejezhetjük a részecske sebességét:   $\begin{array}{c}{\displaystyle v=c\frac{1}{\sqrt[]{1+(\frac{m_{0}c}{eBR}{)}^2}}\equiv c\frac{1}{\sqrt[]{1+K^2}}\mathrm{.}}\end{array}$ (4) A képletben szereplő dimenziótlan $K$ mennyiség számértéke protonra $\begin{array}{c}{\displaystyle K^{\text{(proton)}}=\frac{m_0^{\text{(proton)}}\cdot c}{eBR}\approx \frac{1}{60}\mathrm{,}}\end{array}$ elektronra pedig $\begin{array}{c}{\displaystyle K^{\text{(elektron)}}=\frac{m_0^{\text{(elektron)}}\cdot c}{eBR}\approx \frac{1}{120000}\mathrm{.}}\end{array}$ Mindkét esetben $K$ sokkal kisebb 1-nél, tehát (4) nevezőjében elhanyagolható. $a)$ Ezek szerint az elképzelt, Föld méretű tárológyűrűben mind az elektronok, mind pedig a protonok majdnem pontosan a fény sebességével kellene mozogjanak. A részecskék töltésének előjelét, a mágneses indukcióvektor irányát, valamint a Lorentz-erő jobbkéz-szabályát is figyelembe véve adódik, hogy a protonok (a mágneses) nyugat felé, az elektronok pedig kelet felé mozogva maradhatnak körpályán. $b)$ A részecskék energiáját a sebesség (4)-ből történő kiszámítása, majd az $\begin{array}{c}{\displaystyle E=\frac{m_0{c}^2}{\sqrt[]{1-v^2/c^2}}}\end{array}$ relativisztikus energiaképlet alkalmazásával kaphatjuk meg. Ez a számolás a protonra még elvégezhető, de az elektronra ‐ a zsebszámológépek szokásos pontossága mellett ‐ nem működik, mert $v$ az elérhető pontosság mellett $c$-vel egyenlő. Célravezetőbb, ha először a részecske impulzusát számoljuk ki (2) segítségével:   $\begin{array}{c}{\displaystyle p=eBR\approx 3\cdot {10}^{-17}\frac{\text{kg m}}{\text{s}}\mathrm{,}}\end{array}$ avagy a részecskefizikában szokásosabb egységet használva: $\begin{array}{c}{\displaystyle p^{\text{(proton)}}=p^{\text{(elektron)}}\approx 60\text{GeV}/c\mathrm{.}}\end{array}$ Vegyük észre, hogy mindkét típusú részecskére ugyanakkora impulzus adódott. A részecskék energiáját és impulzusát az $\begin{array}{c}{\displaystyle E=\sqrt[]{{\left(m_0{c}^2\right)}^2+{\left(pc\right)}^2}}\end{array}$ formula kapcsolja össze. Mivel azonban a most vizsgált esetekben mind a protonra, mind pedig az elektronra $pc\gg m_0{c}^2$ (vagyis a részecskék ultrarelativisztikusan mozognak), fennáll $E\approx pc$, vagyis $E^{\text{(proton)}}\approx E^{\text{(elektron)}}\approx 60\text{GeV}$. $c)$ Ilyen energiájú részecskenyalábok a legnagyobb gyorsítókban már előállíthatók, hiszen a Nagy Hadronütköztető (LHC) több TeV energiájú protonokat, a Nagy Elektron-Pozitron Ütköztető (LEP) pedig (2000-ben, a leállítását megelőzően) 106 GeV energiájú elektronokat állított elő. $d)$ A fény a Föld mágneses egyenlítője mentén (tükrök segítségével) $\begin{array}{c}{\displaystyle t=\frac{2R\pi }{c}}\end{array}$ idő alatt tenne meg egy teljes kört. Ezalatt a $v$ sebességű részecskék $\begin{array}{c}{\displaystyle s=vt=2R\pi \frac{v}{c}}\end{array}$ utat tesznek meg, a lemaradásuk a fényhez képest $\begin{array}{c}{\displaystyle \Delta s=2R\pi \left(1-\frac{v}{c}\right)\mathrm{.}}\end{array}$ A zárójelben álló kicsiny különbséget nem érdemes direkt módon kiszámítani, célszerűbb inkább a (4) összefüggés közelítő alakját használni: $\begin{array}{c}{\displaystyle \Delta s=2R\pi \left(1-\frac{1}{\sqrt[]{1+K^2}}\right)\approx 2R\pi \left(1-\left[1-\frac{1}{2K^2}\right]\right)=\frac{R\pi }{K^2}\mathrm{.}}\end{array}$ (Alkalmaztuk az $\epsilon \ll 1$ esetben tetszőleges $n$-re igaz ${\left(1+\epsilon \right)}^n\approx 1+n\epsilon$ közelítést.) A Föld sugarát és a korábban kiszámított $K$-kat behelyettesítve kapjuk, hogy az útkülönbség a protonok és a fény között kb. 5 km, az elektron és a fény között pedig kb. 1 mm. (A megfelelő időkülönbségek 1 teljes körülfordulásnál $16\mu$s, illetve 3 ps.)