Feladat:	4451. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Csathó Botond
Füzet:	2013/január, 49 - 50. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Gázok egyéb állapotváltozása
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2012/május: 4451. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. $a)$ Az ábráról leolvasható, hogy a gáz az $1.\to 2.$ és a $2.\to 3.$ folyamatokban vesz fel hőt, a másik két folyamatban hőleadás történik. A felvett hő a grafikon szerint összesen $Q_{\text{fel}}=2920\text{J}$.     A gáz csak a $2.\to 3.$ folyamatban végez munkát a környezetén, a $4.\to 1.$ folyamatban a környezet végez munkát a gázon. Így a körfolyamat során nyert hasznos munka a grafikon adatai alapján: $W_{\text{hasznos}}^{*}=480\text{J}$. A körfolyamatot végző gép termodinamikai hatásfoka: $\begin{array}{c}{\displaystyle \eta =\frac{W_{\text{hasznos}}^{*}}{Q_{\text{fel}}}=\frac{480\text{J}}{2920\text{J}}=\frac{12}{73}=0\mathrm{,}164=16\mathrm{,}4\%\mathrm{.}}\end{array}$ $b)$ Az $1.\to 2.$ folyamatban a gáz hőt vesz fel, de munkát nem végez. Ez tehát egy izochor folyamat, amelyben a hőmérséklet növekszik. A $2.\to 3.$ folyamatban a gáz hőt vesz fel és munkát is végez, miközben a végzett munka és a felvett hő aránya a folyamat során állandó. Az ábráról leolvasható, hogy ez az állandó $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{W_{2\to 3}^{*}}{Q_{2\to 3}}=\frac{720\text{J}}{2520\text{J}}=\frac{2}{7}\mathrm{.}}\end{array}$ Határozzuk meg a gáz (állandó) fajhőjét erre a folyamatra! A hőtan I. főtételét alkalmazva: $\begin{array}{c}{\displaystyle cm\Delta T=\frac{2}{7}cm\Delta T+c_{V}m\Delta T\mathrm{,}}\end{array}$ ahonnan ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle \frac{5}{7}c=c_V\mathrm{,}c=\frac{7}{5}{c}_V=\frac{7}{5}\cdot \frac{5}{2}\frac{R}{M}=\frac{7}{2}\frac{R}{M}=c_p\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ (Kihasználtuk, hogy kétatomos ideális gázra $c_V=\frac{5}{2}\frac{R}{M}$ és $c_p=\frac{7}{2}\frac{R}{M}$.) Ezek szerint a $2.\to 3.$ részfolyamat egy izobár kitágulás. A $3.\to 4.$ folyamatban a gáz hőt ad le, de munkát nem végez; a folyamat tehát a hőmérséklet csökkenésével járó izochor állapotváltozás. A $4.\to 1.$ folyamatban a gáz hőt ad le, és a környezet munkát végez a gázon. A munkavégzés és a hő aránya itt is 2/7, a folyamat tehát izobár összenyomódás. $c)$ Az eddigiek alapján a körfolyamatot a $p-V$ diagramon egy téglalappal ábrázolhatjuk (1. ábra). Feladatunk még az ábrán jelölt $x$ és $y$ arányszámok meghatározása. Írjuk fel az izochor folyamatok során történő hőátadás mértékét az 1. ábrán szereplő adatokkal és az ismert $c_V$-vel kifejezve!   1. ábra   Az $1.\to 2.$ folyamatban   $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{5}{2}\left(y{p}_0-p_0\right)V_0=400\text{J,<br>}}\end{array}$   a $3.\to 4.$ folyamatban pedig   $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{5}{2}\left(p_0-y{p}_0\right)x{V}_0=-1600\text{J. }}\end{array}$   A fenti két egyenletből   $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{\left(1-y\right)x}{y-1}=-\mathrm{4,}\text{azaz}x=4.}\end{array}$   Írjuk fel most az izobár folyamatokra is a környezettel történő energiacsere mértékét! A $2.\to 3.$ folyamatra   $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{7}{2}\left(x{V}_0-V_0\right)y{p}_0=2520\text{J, <div style="line-height: -3pt"> </div> }}\end{array}$ a $4.\to 1.$ folyamatra pedig   $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{7}{2}\left(V_0-x{V}_0\right)p_0=-800\text{J. <div style="line-height: -3pt"> </div> }}\end{array}$ Ezen összefüggések arányából: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{\left(x-1\right)y}{1-x}=-\mathrm{3,}\text{tehát}y=3.}\end{array}$   2. ábra   A körfolyamat tehát (méretarányosan) a 2. ábrán látható téglalappal ábrázolható a $p$ ‐ $V$ diagramon.