Feladat:	4438. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Csóka József
Füzet:	2013/január, 44 - 45. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Egyéb merev test síkmozgások, Munkatétel
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2012/április: 4438. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. A korong talajra helyezésekor a talajjal érintkező pont sebessége nagyobb, mint a tömegközéppont sebessége, ezért a korong kipörög (,,köszörül''). A súrlódási erő miatt a korong középpontja egyre nagyobb sebességgel mozog, a forgás szögsebessége pedig egyre csökken. Egy bizonyos úthossz megtétele után a korong tisztán gördül, ettől kezdve a tapadási erő nem végez munkát. Jelöljük a korong tömegközéppontjának gyorsulását $a$-val, pillanatnyi sebességét $v$-vel, a korong szöggyorsulását $\beta$-val, pillanatnyi szögsebességét $\omega$-val, tehetetlenségi nyomatékát $\Theta$-val, a súrlódási erőt $F$-fel, végül pedig $\Delta t$-vel az indítás és a tisztán gördülés között eltelt időt (1. ábra). Felírhatóak a következő egyenletek: $\begin{array}{c}{\displaystyle ma=F\mathrm{,}}\end{array}$ (1) $\begin{array}{c}{\displaystyle \Theta \beta =FR\mathrm{.}}\end{array}$ (2) A tiszta gördülés feltétele: $\begin{array}{c}{\displaystyle v=R\omega \mathrm{.}}\end{array}$ (3) Ha $x$-szel jelöljük azt az utat, amennyit a korong középpontja elmozdul a köszörülés befejeződéséig, akkor   1. ábra   $\begin{array}{c}{\displaystyle x=\frac{1}{2}a{\left(\Delta t\right)}^2\mathrm{.}}\end{array}$ (4) Az (1) és (2) egyenletekből ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle a}& {\displaystyle =\frac{F}{m}=\mu g\approx 4\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \beta }& {\displaystyle =\frac{FR}{\Theta }=\frac{FR}{\frac{1}{2}m{R}^2}=\frac{2g\mu }{R}\approx 80\frac{1}{{\text{s}}^2}\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ A (3) egyenletetből ‐ az egyenletesen változó mozgás sebességének és szögsebességének időfüggését felírva ‐ kapjuk, hogy $a\Delta t=\left({\omega }_0-\beta \Delta t\right)R$, ahonnan (az SI-mértékegységek kiírását ,,lespórolva'') $\begin{array}{c}{\displaystyle 4\Delta t=\left(120-80\Delta t\right)\cdot 0\mathrm{,}\mathrm{1,}\Delta t=1\text{s. }}\end{array}$ Ennyi idő alatt az egyenletesen gyorsuló korong középpontja   $\begin{array}{c}{\displaystyle x=\frac{1}{2}a{\left(\Delta t\right)}^2=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 1^2=2\text{m }}\end{array}$ utat tesz meg. A súrlódási erő csak ezen a 2 méteres úton végez munkát a korongon, a további 3 méteren nem. A tiszta gördülés során a korong tömegközéppontjának sebessége mindvégig 4 m/s, szögsebessége pedig 40 s${}^{-1}$ marad. A korong $v$ tömegközépponti sebességének és az $R\omega$ kerületi sebességének időbeli alakulását szemlélteti a 2. ábra.   2. ábra   A korongra ható súrlódási erő munkája két részből áll: $\begin{array}{c}{\displaystyle W=F\cdot x-F\cdot R\Delta \phi \mathrm{,}}\end{array}$ ahol $\Delta \phi$ a korong szögelfordulása $\Delta t$ idő alatt. (A képletben szereplő előjelek azt fejezik ki, hogy a tömegközéppont sebessége a súrlódási erővel megegyező irányú, a forgásból származó kerületi sebesség pedig azzal ellentétes irányú.) A szögelfordulás $\begin{array}{c}{\displaystyle \Delta \phi ={\omega }_0\cdot \Delta t-\frac{1}{2}\beta {\left(\Delta t\right)}^2=120-\frac{1}{2}\cdot 80=80\text{radián}\mathrm{,}}\end{array}$ a munka tehát: $\begin{array}{c}{\displaystyle W=\mu mgx-\mu mg\Delta \phi R=0\mathrm{,}4\cdot 5\cdot 10\cdot 2-0\mathrm{,}4\cdot 5\cdot 10\cdot 80\cdot 0\mathrm{,}1=-120\text{J. <div style="line-height: -3pt"> </div> }}\end{array}$ Ez a munka a 2. ábrán leolvasható elmozdulásokból közvetlenül is megkapható. A korong középpontjának elmozdulása a tiszta gördülés kezdetéig a $v\left(t\right)$ függvény grafikonján a görbe alatti terület. Esetünkben ez az $ACD$ háromszög területe: 2 (méter). Ugyanakkor a kerületi pontok forgás miatti elmozdulása az $R\omega \left(t\right)$ grafikon görbe alatti területe, ami esetünkben az $ABCD$ trapéz területe, 6 (méter). A két terület különbsége (az ábrán szürkén jelölt $ABC$ háromszög 6 egységnyi területének $\left(-1\right)$-szerese) a korong súrlódó pontjainak a talajhoz viszonyított (relatív) elmozdulása. Ennek az elmozdulásnak és az $F=20$ N erőnek a szorzata adja meg a súrlódási erő munkavégzését. Ugyanezt az eredményt a munkatételből is megkaphatjuk. A végzett munka a korong összes mozgási energiájának megváltozásával egyenlő: ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle W=\frac{1}{2}m{v}^2+\frac{1}{2}\Theta {\omega }^2-\frac{1}{2}\Theta {\omega }_0^2=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle =\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 4^2+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 0\mathrm{,}{1}^2\right)\cdot {\left(120-80\cdot 1\right)}^2-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 0\mathrm{,}{1}^2\right)\cdot {120}^2=-120\text{J. }}\hfill \end{array}}$