Kezdőlap


Feladat:	4412. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Papp Roland , Szabó Attila
Füzet:	2013/január, 40 - 42. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Egyéb elemi részecskék, Relativisztikus impulzus, Mozgás homogén mágneses mezőben, Elektromos töltés megmaradása
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2012/január: 4412. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Homogén mágneses mezőben a fékeződésmentesen mozgó töltött részecske a mágneses térre merőleges síkban egyenletes körmozgást végez, amihez még a mágneses térrel párhuzamos irányú egyenletes mozgás is hozzáadódhat. Az ábrán látható felvétel (ha egyáltalán létezik ilyen) a mágneses mezőre merőleges irányból készült (hiszen a pályák körívek). (A mágneses tér irányú mozgás ‐ ami nem látszik a felvételen ‐ a továbbiakban figyelmen kívül hagyható. Feltételezhetjük, hogy a mágneses tér a közölt ábra síkjára merőlegesen felfelé mutat. Ha nem így lenne, akkor tekintsük a felvételt a túlsó oldaláról; onnan nézve a mágneses tér ellentétes irányú, a körpályák pedig változatlanok maradnak.)
Számozzuk meg a részecskepályákat belülről kifele haladva, és jelöljük a pályasugarakat

R_{1}

-gyel,

R_{2}

-vel és

R_{3}

-mal. A közölt ábrán átható, hogy

\begin{matrix} R_{1} < R_{2} < R_{3} . \end{matrix}

(1)

Ugyanilyen sorrendben jelöljük a részecskék impulzusának nagyságát

p_{1}

-gyel,

p_{2}

-vel és

p_{3}

-mal, az elektromos töltésük nagyságát pedig

q_{1}

-gyel,

q_{2}

-vel és

q_{3}

-mal! (

R_{i}

p_{i}

és

q_{i}

(

i = 1,2,3

) mindegyike pozitív, hiszen a megfelelő fizikai mennyiség nagyságát jelöli. Ha valamelyik részecske impulzusa vagy töltése ellentétes lenne a másikéval, ezt a tényt a képletekben kiírt negatív előjellel vesszük figyelembe.)

B

nagyságú mágneses indukciójú mezőben

v

sebességgel,

R

sugarú körpályán mozgó

m

tömegű,

q

töltésű részecske (nemrelativisztikus) mozgásegyenlete:

\begin{matrix} \frac{m v^{2}}{R} = q v B, azaz m v = q B R, \end{matrix}

ami a részecske

p = m v

impulzusával kifejezve:

\begin{matrix} p = q B R . \end{matrix}

(2)

Megjegyzés. Érdekes módon a (2) egyenlet akkor is érvényben marad, ha a részecske mozgását a relativisztikus dinamika törvényeivel írjuk le. Ilyen esetben a mozgásegyenlet

\begin{matrix} \frac{Δ p}{Δ t} = q v \times B, \end{matrix}

amiből (mindkét oldal abszolút értékét véve)

\begin{matrix} p ω = p \frac{v}{R} = q v B, tehát p = q B R . \end{matrix}

(Kihasználtuk, hogy az

ω

szögsebességgel forgó, állandó abszolút értékű

p

vektor időbeli változásának sebessége

p ω

nagyságú.)

A bomlási folyamat során a részecskék (előjelhelyesen felírt) elektromos össztöltése, valamint az impulzusok előjeles összege változatlan marad (ún. megmaradó mennyiség). Az ábráról nem tudjuk megállapítani, hogy melyik részecske bomlik, így külön-külön meg kell vizsgáljuk mindhárom lehetséges esetet.

1. ábra

2. ábra

3. ábra

(i)

Ha az 1-es részecske bomlik (1. ábra), akkor mindhárom részecske ,,jobbra kanyarodik'', tehát pozitív töltésű. Az impulzus- és töltésmegmaradás szerint

\begin{matrix} p_{1} = p_{2} + p_{3} és q_{1} = q_{2} + q_{3}, \end{matrix}

ahonnan (2) alkalmazásával

\begin{matrix} R_{1} = \frac{q_{2} R_{2} + q_{3} R_{3}}{q_{2} + q_{3}} . \end{matrix}

(3)

Ez azonban lehetetlen, mert

R_{2}

és

R_{3}

, vagyis a két nagyobb pályasugár pozitív együtthatókkal súlyozott középértéke nem lehet a legkisebb sugárral egyenlő.

(i i)

Ha a 2-es részecske bomlik (2. ábra), akkor csak a 3-as részecske pozitív töltésű, a másik kettő (balra kanyarodó) részecske negatív elektromos töltésű kell legyen. Az impulzus- és töltésmegmaradás egyenletei:

p_{2} = p_{1} + p_{3}

és

- q_{2} = - q_{1} + q_{3}

, ahonnan (2) alkalmazásával ismét az ellentmondásos (3) összefüggést kapjuk.

(i i i)

Végül, ha a 3-as részecske bomlik (3. ábra), akkor csak a 2-es részecske pozitív töltésű, a másik kettő negatív, és a megmaradási törvények szerint

p_{3} = p_{1} - p_{2}

és

- q_{3} = - q_{1} + q_{2}

, ami ugyancsak az ellentmondásos (3) összefüggésre vezet.
Összefoglalva megállapíthatjuk, hogy az ábrán bemutatott ,,nyomok'' nem fordulhatnak elő a valóságban végbemenő bomlásfolyamat megfigyelhető ködkamrás felvételén.