Feladat:	4427. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Fonyó Viktória
Füzet:	2012/december, 559. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Fizikai inga
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2012/március: 4427. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. A rúd fizikai inga, aminek lengésideje: $\begin{array}{c}{\displaystyle T=2\pi \sqrt[]{\frac{\Theta }{mgs}}\mathrm{,}}\end{array}$   ahol $\Theta$ az $m$ tömegű rúd felfüggesztési pontra vonatkozó tehetetlenségi nyomatéka, $s=\sqrt[]{{\ell }^2-\frac{L^2}{4}}$ pedig a felfüggesztési pont távolsága a rúd tömegközéppontjától. A Steiner-tétel alapján ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle \Theta }& {\displaystyle =\frac{1}{12}m{L}^2+m{s}^2\mathrm{,}\text{innen}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \frac{\Theta }{mgs}}& {\displaystyle =\frac{1}{12g}\cdot \frac{L^2+12s^2}{s}=\frac{1}{6g}\cdot \frac{\frac{L^2}{s}+12s}{2}\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ A számtani és mértani közép közti összefüggés alapján: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1}{6g}\cdot \frac{\frac{L^2}{s}+12s}{2}\ge \frac{1}{6g}\sqrt[]{\frac{L^2}{s}\cdot 12s}=\frac{L\sqrt[]{12}}{6g}\mathrm{.}}\end{array}$ Mivel a lengésidő akkor minimális, ha a képletében a gyök alatt szereplő mennyiség is minimális, ezért $\begin{array}{c}{\displaystyle T\ge 2\pi \sqrt[]{\frac{L\sqrt[]{3}}{3g}}\mathrm{.}}\end{array}$ Az egyenlőség, amikor $\begin{array}{c}{\displaystyle T=T_{\text{min}}=2\pi \sqrt[]{\frac{L\sqrt[]{3}}{3g}}}\end{array}$ akkor teljesül, ha $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{L^2}{s}=12s\mathrm{,}}\end{array}$ vagyis $\begin{array}{c}{\displaystyle L^2=12s^2=12\left({\ell }^2-\frac{L^2}{4}\right)=12{\ell }^2-3L^2\mathrm{.}}\end{array}$ Ebből: $\begin{array}{c}{\displaystyle \ell =\frac{L}{\sqrt[]{3}}\mathrm{.}}\end{array}$