Feladat:	4425. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Beke Gabriella
Füzet:	2012/december, 557 - 558. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Erőrendszer eredője
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2012/március: 4425. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   I. megoldás. Mozdítsuk ki (gondolatban) az abroncsot az egyensúlyi állapotából ‐ mondjuk jobbra ‐ egy kicsiny $\alpha$ szöggel jellemezhető szögelfordulással! Ekkor (az ábra jelöléseit követve) az abroncs középpontja az $O$ pontba, a nehezék a $C$ pontba, az abroncs+nehezék rendszer tömegközépponja pedig a $T$ pontba kerül. Mivel a nehezék és az abroncs tömege megegyezik, $OT=TC=\frac{r}{2}$. Az elképzelt elmozdulás során az abroncs és a vályú érintkezési pontja az ábrán jelölt $B$ pontba vándorol; ez a pont a vályú $K$ középpontjából nézve az eredeti $A$ érintkezési ponthoz képest $\beta$ szöggel elforgatott helyzetű.     A kezdeti egyensúlyi állapot akkor stabil, ha egy kicsit kimozdított állapotban az abroncsra ható forgatónyomaték az eredeti állapotába igyekszik visszatéríteni a rendszert. Ez a feltétel akkor teljesül, ha a kimozdított rendszer tömegközéppontjának függőleges vetülete a $B$ pont bal oldalára esik, vagyis ha $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{r}{2}\text{sin}\alpha <r\text{sin}\beta \mathrm{,}\text{azaz}\frac{\text{sin}\alpha }{\text{sin}\beta }<2.}\end{array}$ Mivel $\alpha$ és $\beta$ kicsiny szögek, a szinuszuk a szögek radiánban mért értékével közelíthető, így a stabil egyensúly feltétele: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{\alpha }{\beta }<2.}\end{array}$ (1) Tudjuk még azt is, hogy az érdes vályúban az abroncs csúszásmentesen gördül, vagyis az ábrán vastagon jelölt $AB$ és $DB$ ívek hossza megegyezik: $\begin{array}{c}{\displaystyle R\beta =r\alpha +r\beta \mathrm{,}\text{tehát}\frac{R}{r}=\frac{\alpha }{\beta }+1.}\end{array}$ Innen (1) felhasználásával a stabilitási feltétel: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{R}{r}<\mathrm{3,}\text{azaz}\frac{r}{R}>\frac{1}{3}\mathrm{.}}\end{array}$     II. megoldás. Az egyensúlyi helyzet akkor stabil, ha onnan kicsit kimozdítva a rendszert a helyzeti energiája növekszik. Az I. megoldás ábrájának jelöléseit használva a helyzeti energia változása az eredeti állapothoz képest ${\displaystyle \begin{array}{ccc}\hfill {\displaystyle \Delta E}& {\displaystyle =}\hfill & {\displaystyle m_{\text{abroncs}}g\left(R-r\right)\left(1-\text{cos}\beta \right)+m_{\text{nehezék}}g\left(R-r\right)\left(1-\text{cos}\beta \right)-}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle }\hfill & {\displaystyle -m_{\text{nehezék}}gr\left(1-\text{cos}\alpha \right)\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ Mivel $m_{\text{abroncs}}=m_{\text{nehezék}}=m$, továbbá a kicsiny szögekre érvényes a $\text{cos}x\approx 1-x^2/2$ közelítés, az energiaváltozás így írható: $\begin{array}{c}{\displaystyle \Delta E=mg\left(R-r\right){\beta }^2-mg\frac{r}{2}{\alpha }^2\mathrm{.}}\end{array}$ Innen ‐ a csúszásmentes gördülés $r\alpha =\left(R-r\right)\beta$ geometriai feltételét is kihasználva ‐ a stabilitás feltétele: $\begin{array}{c}{\displaystyle \Delta E=mg\left(R-r\right){\beta }^2\left[1-\frac{R-r}{2r}\right]>0.}\end{array}$ Ez az egyenlőtlenség akkor teljesül tetszőleges (kicsiny) $\beta$-ra, ha a szögletes zárójelben álló tényező pozitív: $\begin{array}{c}{\displaystyle 1-\frac{R-r}{2r}>\mathrm{0,}\text{vagyis ha}\frac{r}{R}>\frac{1}{3}\mathrm{.}}\end{array}$