Feladat:	4449. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Horváth András Levente
Füzet:	2012/október, 439 - 440. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Newton-féle gravitációs erő, Kepler I. törvénye
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2012/május: 4449. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Ha az űreszköz mozgását csak a Nap gravitációs ereje határozza meg, akkor úgy viselkedik, mint egy bolygó, tehát ‐ Kepler törvényeinek megfelelően ‐ ellipszis alakú pályán kering. Jelöljük az ellipszis fél nagytengelyét $a$-val, a test tömegét $m$-mel, a Nap tömegét pedig $M$-mel. A Függvénytáblázatban (is) megtalálható képlet szerint a test pillanatnyi $v$ sebessége és a Napról mért $r$ távolsága közti összefüggés: $\begin{array}{c}{\displaystyle v=\sqrt[]{\gamma M\left(\frac{2}{r}-\frac{1}{a}\right)}\mathrm{.}}\end{array}$ (1) A test összenergiája, a mozgási és a gravitációs helyzeti (potenciális) energia összege: $\begin{array}{c}{\displaystyle E=E_{\text{mozg}}+E_{\text{pot}}=\frac{1}{2}m{v}^2+\left(-\frac{\gamma Mm}{r}\right)\mathrm{,}}\end{array}$ ami (1) felhasználásával így írható: $\begin{array}{c}{\displaystyle E=\frac{\gamma Mm}{2}\left(\frac{2}{r}-\frac{1}{a}\right)-\frac{\gamma Mm}{r}=-\frac{\gamma Mm}{2a}\mathrm{.}}\end{array}$ (2) Látható, hogy a test energiája egyértelműen meghatározza az ellipszis fél nagytengelyét, függetlenül az ellipszis kistengelyének vagy az excentricitásának nagyságától. Mire következtethetünk az összenergia és a fél nagytengely kapcsolatából a jelen feladatban? Akármilyen irányba lőjük is ki az űreszközt egy adott pontból, ha a kezdősebességének nagysága (és ezzel együtt a kezdeti mozgási energiája) megadott értékű, helyzeti energiája is meghatározott, az összenergiája és így a pálya nagytengelyének hossza minden esetben ugyanakkora kell legyen. A kezdősebesség iránya csak az ellipszis állását és az excentricitásának mértékét befolyásolja.     Jelöljük a $P$ kilövési pont és a Nap távolságát az ábrán látható módon $R$-rel, és számítsuk ki az ellipszis fél nagytengelyét $R$ függvényében! Az $R$ sugarú körpályán történő mozgás $v_0$ sebessége a Newton-féle $\begin{array}{c}{\displaystyle m\frac{v_0^2}{R}=\frac{\gamma Mm}{R^2}}\end{array}$ mozgásegyenlet szerint $\begin{array}{c}{\displaystyle v_0=\sqrt[]{\frac{\gamma M}{R}}\mathrm{.}}\end{array}$ Az űreszköz kezdősebessége a feladat szövege szerint $v=v_0/2$, ahonnan az összenergiája $\begin{array}{c}{\displaystyle E=\frac{1}{2}m{v}^2-\frac{\gamma Mm}{R}=-\frac{7}{8}\frac{\gamma Mm}{R}\mathrm{,}}\end{array}$ vagyis az ellipszispálya fél nagytengelye (2) alapján számolva $a=\frac{4}{7}R$. Az ábrán különböző irányú (de ugyanakkora nagyságú)   kezdősebességhez tartozó ellipszispályákat tüntettünk fel. Mindegyik ellipszisnek ugyanakkora, $2a=\frac{8}{7}R$ hosszúságú a nagytengelye, és az egyik fókuszpontja a Nap helyén van. $a)$ Mindegyik ellipszis megkerüli a Napot, tehát az űreszköz a kilövési ponttól legalább $R$ távolságra jut. Ha a szondát majdnem pontosan a Nap felé (vagy azzal ellentétes irányban indítjuk, akkor a pályája az I. jelű elfajult ellipszis (határesetben egy egyenes), ezen haladva a szonda legfeljebb $R$ távolságra jut a $P$ ponttól. $b)$ Az ellipszis két legtávolabbi pontja a nagytengely két vége, tehát abban az esetben kerül legmesszebb az indulási ponttól a test, ha $P$ a nagytengely egyik végpontja. Ezt úgy érhetjük el, hogy a testet Nap irányára merőlegesen lőjük ki (III. jelű pálya). Ekkor az űreszköz $2a=\frac{8}{7}R$ távolságra jut a kilövési ponttól. $c)$ A második esetben az űreszköz $\frac{8}{7}$-szer messzebbre jut, mint az első esetben.