Feladat:	4448. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Antalicz Balázs ,  Koncz Gabriella ,  Nagy Lajos ,  Papp Roland ,  Szabó Attila
Füzet:	2012/október, 437 - 438. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Hangsebesség, Vastag lencse
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2012/május: 4448. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   I. megoldás. Tárgyaljuk a problémát olyan (a geometriai optikának megfelelő) közelítésben, amelyben a hang terjedését ,,sugarakkal'' írjuk le, és nem törődünk a hang hullámtermészetével.       Ha az egyik gyerek szájától elinduló ,,hangsugarak'' a ballon falánál megtörve a ballonban éppen vízszintesen haladnak tovább, akkor a szimmetria miatt a másik oldalon pont a másik gyerek fejénél ,,fókuszálódnak''. Az ábra jelöléseit követve a következő összefüggéseket írhatjuk fel:   ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle \frac{\text{sin}\alpha }{\text{sin}\beta }=n\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle x=s\text{tg}\left(\alpha -\beta \right)\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle x=R\text{tg}\beta \mathrm{,}}\hfill \end{array}}$   ahol $n=1\mathrm{,}3$ a szén-dioxidnak levegőre vonatkoztatott ,,hang-törésmutatója''. Kis szögek esetén (a szögek szinuszát és tangensét a szöggel közelítve) a fenti egyenletek így néznek ki: ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle \frac{\alpha }{\beta }=n\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle x=s\left(\alpha -\beta \right)\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle x=R\beta \mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ Ezekből kapjuk, hogy ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle \beta =\frac{x}{R}\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \alpha =n\beta =n\frac{x}{R}\mathrm{,}}\hfill \end{array}}$ és végül $\begin{array}{c}{\displaystyle s\left(n-1\right)\frac{x}{R}=x\mathrm{,}}\end{array}$ vagyis (az alkalmazott közelítésben tetszőleges $x$-re) $\begin{array}{c}{\displaystyle R=\left(n-1\right)s=0\mathrm{,}3\cdot 2\text{m=0,6 }\text{m. }}\end{array}$ A ballon átmérője tehát kb. 1,2 m lehet.     II. megoldás. A ballon leképező eszközként viselkedik, az $s$ távolságból induló hanghullámokat ‐ mint egy vastag lencse ‐ a túlsó oldalon ugyancsak $s$ távolságban fókuszálja. Tudjuk, hogy a gömb nem ideális leképező forma, ezért meg kell elégedjünk közelítő megoldással. A gyerekek fejét összekötő egyenes közelében haladó hanghullámok szempontjából a ballon két darab vékony, síkdomború lencsének és egy planparalel lemeznek tekinthető. A suttogás felerősödésének az a feltétele, hogy az $R$ görbületi sugarú síkdomború lencse fókusztávolsága éppen $s=2$ m legyen, vagyis fennálljon: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1}{s}=\left(n-1\right)\frac{1}{R}\mathrm{,}}\end{array}$ azaz $R=\left(n-1\right)R=60$cm. Eszerint a ballon átmérője 1,2 m.