Feladat:	4440. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Horváth András Levente
Füzet:	2012/október, 434 - 435. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Egyéb elektromos mező
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2012/április: 4440. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Egészítsük ki gondolatban a félgömböt egy másik, ugyancsak egyenletesen töltött félgömbbel egy teljes, homogén töltéseloszlású gömbbé. Ennek belsejében a térerősség (mint egy töltött fémgömbben is) nulla, vagyis az alsó és a felső félgömbök által létrehozott elektromos erők kiegyenlítik egymást.     Az ábrán 1-1 félgömb térerősségvektorai láthatók. Az előbbiekből az következik, hogy (az ábrán feltüntetett irányításokat tekintve pozitívnak) $\begin{array}{c}{\displaystyle E_1=E^{\text{alsó}}\left(P\right)=E^{\text{felső}}\left(P\right)=E_3\mathrm{,}}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle E_2=E^{\text{alsó}}\left(Q\right)=E^{\text{felső}}\left(Q\right)=E_4\mathrm{,}}\end{array}$ továbbá a szimmetria miatt $\begin{array}{c}{\displaystyle E_1=E_4\text{és}{E}_2=E_3\mathrm{,}}\end{array}$ ha a $P$ és $Q$ pont a gömb $O$ középpontjától ugyanolyan messze helyezkedik el a szimmetriatengelyen. Ezek szerint $\begin{array}{c}{\displaystyle E_1=E_2\mathrm{,}}\end{array}$ vagyis a negatív töltésű kis gyöngyre ható $F\left(x\right)$ erő páros függvény: $\begin{array}{c}{\displaystyle F\left(x\right)=F\left(-x\right)\mathrm{,}}\end{array}$ és így az elengedési ponttól a gömb középpontjáig megtett úton ugyanannyi a munkavégzés, mint onnan a félgömb legalsó pontjáig: $\begin{array}{c}{\displaystyle W_{A\to O}=W_{O\to B}\mathrm{,}}\end{array}$ vagyis $\begin{array}{c}{\displaystyle W_{A\to B}=2W_{A\to O}\mathrm{.}}\end{array}$ A munkatétel szerint a külső erők által végzett munka a test mozgási energiájának megváltozásával egyenlő, emiatt az $A$ pontból kezdősebesség nélkül induló gyöngynek kétszer akkora a mozgási energiája a félgömb aljánál, mint a középpontban. Mivel a (nemrelativisztikus) mozgási energia a sebesség négyzetével arányos, a félgömbhéj aljánál a gyöngy sebessége $\begin{array}{c}{\displaystyle v_B=\sqrt[]{2}{v}_O=\sqrt[]{2}{v}_0\mathrm{.}}\end{array}$   Megjegyzés. Az eredmény akkor is változatlan marad, ha a gravitáció hatását figyelembe vesszük, hiszen a (konstans) gravitációs erő is páros függvénye $x$-nek.