Feladat:	4422. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Szabó Attila
Füzet:	2012/október, 433. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Mezonok, Neutrínó, Pozitron, Relativisztikus impulzus, Relativisztikus energia, Megmaradási törvények alkalmazása
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2012/február: 4422. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Válasszunk olyan egységrendszert, amelyben a fénysebesség $c=1$. A folyamatra érvényes a lendületmegmaradás törvénye, vektori alakban: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\overrightarrow{p}}_{\pi }={\overrightarrow{p}}_{\text{e}}+{\overrightarrow{p}}_{\nu }\mathrm{.}}\end{array}$ Négyzetre emelve, és kihasználva, hogy ${\overrightarrow{p}}_{\text{e}}$ és ${\overrightarrow{p}}_{\nu }$ merőlegesek: $p_{\pi }^2=p_e^2+p_{\nu }^2$. Egy $m$ tömegű részecske teljes (relativisztikus) energiája és $p$ lendülete (impulzusa) között (a választott $c=1$ egységrendszerben) fennáll az $\begin{array}{c}{\displaystyle E=\sqrt[]{p^2+m^2}}\end{array}$ összefüggés, amit szoktak tömeghéj-feltételnek is nevezni). Ütközésekben és bomlási folyamatokban a teljes energiák összegére teljesül az energiamegmaradás; jelen esetben ez így fogalmazható meg: $E_{\pi }=E_{\text{e}}+E_{\nu }$. Négyzetre emelve, és a teljes energiák négyzetére felírva a tömeghéj-feltételt: $\begin{array}{c}{\displaystyle m_{\pi }^2+p_{\pi }^2=m_{\text{e}}^2+p_{\text{e}}^2+p_{\nu }^2+2E_{\nu }{E}_{\text{e}}\mathrm{.}}\end{array}$ A lendületekre vonatkozó összefüggést felhasználva $\begin{array}{c}{\displaystyle E_{\nu }{E}_{\text{e}}=\frac{m_{\pi }^2-m_{\text{e}}^2}{2}\mathrm{,}}\end{array}$ vagyis a két bomlástermék energiájának szorzata állandó. Célunk a pion sebességének, így energiájának minimalizálása. Ez az energia egyenlő a két bomlástermék energiájának összegével, ennek minimumát keressük. Írjuk fel a számtani és mértani közép közti egyenlőtlenséget: ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle \sqrt[]{E_{\nu }{E}_{\text{e}}}\le \frac{E_{\nu }+E_{\text{e}}}{2}\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle E_{\pi }=E_{\nu }+E_{\text{e}}\ge 2\sqrt[]{E_{\nu }{E}_{\text{e}}}=\sqrt[]{2\left(m_{\pi }^2-m_{\text{e}}^2\right)}\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ A pion teljes energiája a tömegével és a sebességével kifejezve: $\begin{array}{c}{\displaystyle E_{\pi }=\frac{m_{\pi }}{\sqrt[]{1-v^2}}\ge \sqrt[]{2\left(m_{\pi }^2-m_{\text{e}}^2\right)}\mathrm{,}}\end{array}$ ahonnan a pion sebességére a $\begin{array}{c}{\displaystyle v\ge \sqrt[]{1-\frac{m_{\pi }^2}{2\left(m_{\pi }^2-m_{\text{e}}^2\right)}}=\sqrt[]{\frac{m_{\pi }^2-2m_{\text{e}}^2}{2m_{\pi }^2-2m_{\text{e}}^2}}\approx \frac{1}{\sqrt[]{2}}=0\mathrm{,}707}\end{array}$ alsó korlát adódik. Az egységrendszer választása miatt ez annyit jelent, hogy a pion sebessége legalább a fénysebesség 0,707-szerese kell legyen.