Feladat:	4416. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Koncz Gabriella ,  Papp Roland ,  Sisák Mária Anna
Füzet:	2012/május, 310 - 312. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Mozgásegyenletek gyorsuló koordináta-rendszerekben, Csúszó súrlódás
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2012/február: 4416. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   I. megoldás. Írjuk le a szerelvény és a kisméretű test mozgását a vasúti töltéshez viszonyítva, tehát inerciarendszerből! A fékező szerelvény sebessége $T$ idő alatt egyenletesen csökken a kezdeti $v_0$ értékről nullára (1. ábra), így a vagon gyorsulása $\begin{array}{c}{\displaystyle a_{\text{vagon}}=\frac{\Delta v}{\Delta t}=-\frac{v_0}{T}\mathrm{.}}\end{array}$ A kisméretű testre ható $S$ súrlódási erő nagysága legfeljebb $\mu mg$ lehet (ha $m$ a test tömege), így a gyorsulásának nagysága $\begin{array}{c}{\displaystyle |a_{\text{test}}|=\frac{S}{m}\le \mu g\mathrm{.}}\end{array}$   1. ábra   Ha $\begin{array}{c}{\displaystyle |a_{\text{vagon}}|\le \mu g\mathrm{,}\text{vagyis}\mu \ge \frac{v_0}{gT}\mathrm{,}}\end{array}$ akkor a kis test a vagonnal együtt lassul, a platón tehát egyáltalán nem mozdul el. Ha viszont a súrlódási tényező kisebb,   mint a ,,kritikus'' ${\mu }_0=\frac{v_0}{gT}$ érték, a kis test megcsúszik a vagon platóján, sebessége $v\left(t\right)=v_0-\mu gt$ módon egyenletesen csökken, és $\begin{array}{c}{\displaystyle T_1=\frac{v_0}{\mu g}}\end{array}$ idő alatt a kisméretű test megáll (lásd az ábrát). Ebben az esetben nyilván fennáll $T_1>T$. A fékezés kezdetétől a kis test megállásáig a vagon $\begin{array}{c}{\displaystyle s_{\text{vagon}}=\frac{1}{2}{v}_{0}T\mathrm{,}}\end{array}$ a kisméretű test pedig $\begin{array}{c}{\displaystyle s_{\text{test}}=\frac{1}{2}{v}_0{T}_1}\end{array}$ utat tesz meg, a platóhoz képest tehát $\begin{array}{c}{\displaystyle s=s_{\text{test}}-s_{\text{vagon}}=\frac{1}{2}{v}_0\left(T_1-T\right)=\frac{v_0^2}{2\mu g}-\frac{v_{0}T}{2}}\end{array}$ lesz az elmozdulása. Ez az elmozdulás az ábráról is leolvasható, mint a sötétebben jelölt háromszög területe. A mozgás ideje a korábban már megadott $T_1=\frac{v_0}{\mu g}$.   Megjegyzés. A megoldás során feltételeztük, hogy a plató elég hosszú, illetve hogy a szerelvény vízszintesen, egyenes pályán mozog.     II. megoldás. Írjuk le a kisméretű test mozgását a vagonhoz viszonyítva, tehát (a mozgás első szakaszában) lassuló rendszerből! A mozgás két részre bontható. Az első szakaszban, amíg a vagon még mozgásban van, a kis testre $\begin{array}{c}{\displaystyle F_{\text{t}}=m|a_{\text{vagon}}|=m\frac{v_0}{T}}\end{array}$ nagyságú, a vagon mozgásirányához viszonyítva ,,előre'' mutató tehetetlenségi erő hat. Emellett fellép egy ,,hátrafelé'' ható, legfeljebb $S_{\underset{}{\overset{}{\text{max}}}}=mg\mu$ nagyságú súrlódási erő is. Amennyiben a súrlódás elegendően nagy, a kis testet a tehetetlenségi erő nem tudja megmozdítani, az tehát egyáltalán nem mozdul el a platón. Ennek feltétele: $\begin{array}{c}{\displaystyle mg\mu \ge m\frac{v_0}{T}\mathrm{,}\text{azaz}\mu \ge \frac{v_0}{gT}\mathrm{.}}\end{array}$ Ha a súrlódási tényező nem elegendően nagy, a kis test a vagon fékezésekor mozgásba jön, és $t_1=T$ idő alatt $a_1$ gyorsulással $v_1=a_{1}T$ sebességre gyorsul fel. A gyorsulás nagyságát az $F_{\text{t}}-S_{\underset{}{\overset{}{\text{max}}}}=m{a}_1$ mozgásegyenletből számíthatjuk ki: $\begin{array}{c}{\displaystyle a_1=\frac{v_0}{T}-\mu g\mathrm{,}}\end{array}$ és ennek megfelelően a kis test legnagyobb sebessége: $\begin{array}{c}{\displaystyle v_1=v_0-\mu gT\mathrm{.}}\end{array}$ (A súrlódási együtthatóra vonatkozó feltétel miatt $v_1\ge 0$.) A mozgás további részében, amikor a vonat már áll, tehetetlenségi erő nem lép fel, a kis test mozgását tehát csak a súrlódási erő fékezi. A mozgás $a_2=-\mu g$ lassulásnak megfelelő egyenletesen változó mozgás, a test sebessége tehát $\begin{array}{c}{\displaystyle t_2=\frac{v_1}{|a_2|}=\frac{T{a}_1}{\mu g}=\frac{v_0}{\mu g}-T}\end{array}$ idő alatt csökken nullára (2. ábra).   2. ábra   A kisméretű test összesen $\begin{array}{c}{\displaystyle t_1+t_2=T+\left(\frac{v_0}{\mu g}-T\right)=\frac{v_0}{\mu g}}\end{array}$ ideig mozog, és (mint az a 2. ábráról is leolvasható) $\begin{array}{c}{\displaystyle s=\frac{v_1\left(t_1+t_2\right)}{2}=\frac{v_0^2}{2\mu g}-\frac{v_{0}T}{2}}\end{array}$ utat tesz meg a platón.