Feladat:	4397. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Szabó Attila
Füzet:	2012/május, 305 - 306. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Ellenállás hőmérsékletfüggése, Egyéb hőtágulás
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2011/december: 4397. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. A távvezetékeken magasfeszültségen, alacsony áramerősséggel továbbítják az elektromos energiát, így a vezetéken eső feszültség nagyon kicsi a teljes feszültséghez képest. Az áramerősség tehát gyakorlatilag nem függ a vezeték ellenállásának megnövekedésétől, így a veszteségi teljesítmény változását a $P=I^{2}R$ képlet szerint a vezeték ellenállásának változása határozza meg. Kánikulában a vezeték nyilván megnyúlik a hőtágulás következtében, azonban az   ellenállás értéke a vezeték $\ell$ hosszán kívül a fajlagos ellenállástól $(\varrho$) és a keresztmetszettől $\left(A\right)$ is függ az ismert $R=\varrho \frac{\ell }{A}$ összefüggés szerint. A vezeték keresztmetszete a hőtágulás következtében megnő, $\begin{array}{c}{\displaystyle A\text{'}=A{\left(1+{\alpha }_{\text{lin.}}\Delta T\right)}^2}\end{array}$ szerint, ahol ${\alpha }_{\text{lin.}}$ a vezeték anyagának lineáris hőtágulási tényezője. A megnyúlt vezeték hossza $l\text{'}=l\left(1+{\alpha }_{\text{lin.}}\Delta T\right)$, a fajlagos ellenállás pedig a $\varrho \text{'}=\varrho \left(1+{\alpha }_{\text{el.}}\Delta T\right)$ szerint nő (${\alpha }_{\text{el.}}$ a fajlagos ellenállás növekedési tényezője). Ezeket összevetve a távvezeték ellenállásának megváltozására az $\begin{array}{c}{\displaystyle R\text{'}=\varrho \text{'}\frac{\ell \text{'}}{A\text{'}}=\varrho \frac{l}{A}\frac{1+{\alpha }_{\text{el.}}\Delta T}{1+{\alpha }_{\text{lin.}}\Delta T}\approx R\left[1+\left({\alpha }_{\text{el.}}-{\alpha }_{\text{lin.}}\right)\Delta T\right]}\end{array}$ összefüggés adódik. Ismert (pl. a Függvénytáblázatban is megtalálható), hogy a fémek ellenállásának relatív változása ${10}^{-3}$, míg a lineáris méretük relatív változása ${10}^{-5}$ nagyságrendű fokonként, vagyis ${\alpha }_{\text{el.}}\gg {\alpha }_{\text{lin.}}$. Ebből leolvasható, hogy a távvezeték ellenállása, így a rajtuk eső veszteségi teljesítmény is nő a hőmérséklet emelkedésével, a továbbított villamos energia mennyisége tehát valóban csökken. Az újsághírről tehát a következőt állíthatjuk: mindkét állítás igaz, azonban nem a megnyúlást előidéző hőtágulás, hanem a fajlagos ellenállás megnövekedése felelős a veszteség növekedéséért. A két állítás között tehát nincs teljes oksági kapcsolat.