Feladat:	4396. fizika feladat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Csóka József
Füzet:	2012/május, 304 - 305. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Áramforrások belső ellenállása
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2011/december: 4396. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Tekintsünk először egyetlen, $U$ elektromotoros erejű, $R_{\text{b}}$ belső ellenállású galvánelemet, amelyet $R_{\text{k}}$ külső ellenállással terhelünk. Az áramkörben folyó áram erőssége ekkor: $\begin{array}{c}{\displaystyle I=\frac{U}{R_{\text{b}}+R_{\text{k}}}\mathrm{.}}\end{array}$ Fejezzük ki a külső ellenállásra eső teljesítményt: $\begin{array}{c}{\displaystyle P_{\text{k}}=I{U}_{\text{k}}=\frac{U_{\text{b}}}{R_{\text{b}}}\cdot U_{\text{k}}\mathrm{,}}\end{array}$ ahol $U_{\text{b}}$ a belső ellenállásra, $U_{\text{k}}$ pedig a külső ellenállásra eső feszültség. Mivel $R_{\text{b}}$ konstans, a legnagyobb leadott teljesítményt az $U_{\text{b}}\cdot U_{\text{k}}$ szorzat maximuma határozza meg. A számtani és a mértani közepekre vonatkozó összefüggés alapján: $\begin{array}{c}{\displaystyle \sqrt[]{U_{\text{b}}\cdot U_{\text{k}}}\le \frac{U_{\text{b}}+U_{\text{k}}}{2}=\frac{U}{2}\mathrm{.}}\end{array}$ A szorzat akkor lesz a legnagyobb, ha az egyenlőség teljesül, vagyis ha $U_{\text{b}}=U_{\text{k}}$. Innen a külső ellenállásra jutó maximális teljesítmény: $\begin{array}{c}{\displaystyle P_{\text{k}}^{\underset{}{\overset{}{\text{max}}}}=\frac{U_{\text{b}}}{R_{\text{b}}}\cdot U_{\text{k}}=\frac{1}{R_{\text{b}}}\cdot \frac{U}{2}\cdot \frac{U}{2}=\frac{U^2}{4R_{\text{b}}}\mathrm{.}}\end{array}$ (1) $a)$ Ha az áramforrásokat sorba kapcsoljuk, akkor belső ellenállásuk is és az elektromotoros erejük is összeadódik, vagyis a kapcsolást helyettesítő egyetlen galvánelem adatai: $\begin{array}{c}{\displaystyle U=n{U}_0\text{és}{R}_{\text{e}}=n{R}_{\text{b}}\mathrm{.}}\end{array}$ Ezt az (1) összefüggésbe beírva: $\begin{array}{c}{\displaystyle P_{\underset{}{\overset{}{\text{max}}}}=\frac{n^2{U}_0^2}{4n{R}_b}=\frac{n{U}_0^2}{4R_b}\mathrm{.}}\end{array}$ $b)$ Ha párhuzamosan kapcsoljuk az áramforrásokat, akkor az eredő elektromotoros erő az egyes áramforrások elektromotoros erejével lesz egyenlő; a rendszer belső ellenállása pedig az egyes elemek ellenállásának $n$-ed része lesz. Innen a maximális teljesítmény így írható (1) alapján: $\begin{array}{c}{\displaystyle P_{\underset{}{\overset{}{\text{max}}}}=\frac{U_0^2}{4\frac{R_{\text{b}}}{n}}=\frac{n{U}_0^2}{4R_{\text{b}}}\mathrm{.}}\end{array}$ Érdekes, hogy a soros és a párhuzamos kapcsolásnál kapott maximális teljesítmény ugyanakkora.