Kezdőlap


Feladat:	4387. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Barta Szilveszter Marcell , Bolgár Dániel , Csáky Pál , Jenei Márk , Kovács Áron , Laczkó Zoltán Balázs , Papp Roland , Szabó Attila , Szélig Áron
Füzet:	2012/május, 298 - 299. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Elektromos mező
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2011/november: 4387. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Könnyen meggondolhatjuk, hogy az elektromos térerősség nem lehet zérus a háromszög síkján kívül eső pontokban, de még a háromszög síkjának a háromszögön kívül eső pontjaiban sem tűnhet el a térerősség. (Ezen pontok mindegyikére illeszthető olyan sík, amelynek ugyanarra az oldalára esik az összes töltés, tehát azok elektromos térerősségének a síkra merőleges komponense ugyanolyan előjelű, eredőjük nem lehet nulla.) A kérdéses pont ‐ ha egyáltalán van ilyen ‐ csak a háromszög belső pontja lehet.

Belátjuk, hogy a háromszög beírható körének középpontjában tűnik el az elektromos térerősség. Tekintsük a háromszög egyik oldalának a beírható kör középpontjából

Δ φ

szög alatt látszó kicsiny (az ábrán vastagon jelölt) darabkáját! Ennek távolsága a kör középpontjától

r / cos φ

, hossza tehát

\begin{matrix} Δ s = \frac{r}{cos φ} \cdot Δ φ \cdot \frac{1}{cos φ} = \frac{r Δ φ}{cos^{2} φ}, \end{matrix}

töltése pedig

\begin{matrix} Δ q = λ Δ s = λ \frac{r Δ φ}{cos^{2} φ} . \end{matrix}

Ezen kis töltés által a kör középpontjában létrehozott elektromos térerősség-járulék:

\begin{matrix} Δ E = \frac{1}{4 π ε_{0}} \frac{Δ q}{(\frac{r}{cos φ})^{2}} = \frac{1}{4 π ε_{0}} \frac{λ \cdot r Δ φ}{r^{2}} . \end{matrix}

Az eredményből leolvasható, hogy ugyanekkora nagyságú és ugyanilyen irányú elektromos térerősséget hozna létre a beírható körnek egy

Δ φ

középponti szöghöz tartozó (az ábrán ugyancsak vastagon jelölt) íve, ha azt

λ

hosszmenti töltéssűrűséggel látnánk el. A kis ívdarabkák járulékait összegezve láthatjuk, hogy a háromszög egyenletesen töltött oldalai által létrehozott eredő térerősség a beírható kör középpontjában (annak szimmetrikus helyzetéből adódóan) valóban zérus.