Kezdőlap


Feladat:	4398. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Fehér Zsombor , Szigeti Bertalan György
Füzet:	2012/április, 243 - 244. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Kölcsönös indukció
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2011/december: 4398. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Jelöljük 1-es indexszel az ismert induktivitású tekercshez tartozó értékeket, 2-essel a másikhoz tartozó értékeket. Az egyes tekercseken átfolyó áramerősségeknek nem kell külön indexelést adnunk, hiszen a soros kapcsolásban mindkét tekercsen minden pillanatban ugyanakkora erősségű áram folyik keresztül.
Írjuk fel, hogy mekkora feszültség indukálódik a tekercsekben váltakozó áramerősség hatására, ha az önindukció mellett a kölcsönös indukciót is figyelembe vesszük!

\begin{matrix} U_{1} = - L_{1} \frac{Δ i}{Δ t} + M \frac{Δ i}{Δ t}, U_{2} = - L_{2} \frac{Δ i}{Δ t} + M \frac{Δ i}{Δ t} . \end{matrix}

(Kihasználtuk, hogy ellentétes tekercselésű tekercsek soros kapcsolásánál az önindukció és a kölcsönös indukció járuléka ellentétes előjelű.)
A két tekercsen mérhető eredő feszültség:

\begin{matrix} U = U_{1} + U_{2} = - (L_{1} + L_{2} - 2 M) \frac{Δ i}{Δ t} = - L_{eredő} \frac{Δ i}{Δ t}, \end{matrix}

ahol

\begin{matrix} L_{eredő} = L_{1} + L_{2} - 2 M = L_{1} + L_{2} - 2 k \sqrt[]{L_{1} L_{2}} \end{matrix}

a két tekercs eredő induktivitásának a csatolási tényezővel kifejezett alakja.
Az eredő induktivitás az ismeretlen

L_{2}

függvénye, hiszen

L_{1}

és

k

nagysága a feladat szövege szerint adott. Az tekercseken átfolyó áram erőssége ‐ adott nagyságú tápfeszültség esetén ‐ akkor a legnagyobb, amikor

L_{eredő}

a legkisebb értékű. A függvény minimumát differenciálszámítással, grafikus ábrázolással, teljes négyzetté alakítással, vagy pl. a számtani-mértani közepekre vonatkozó egyenlőtlenség felhasználásával kaphatjuk meg:

\begin{matrix} L_{eredő} = L_{1} + L_{2} - 2 k \sqrt[]{k L_{1} \cdot \frac{1}{k} L_{2}} \leq L_{1} + L_{2} - 2 k \frac{k L_{1} + \frac{1}{k} L_{2}}{2} = (1 - k^{2}) L_{1}, \end{matrix}

és az egyenlőség akkor teljesül, ha

\begin{matrix} k L_{1} = \frac{1}{k} L_{2}, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} L_{2} = k^{2} L_{1} = 20, 25 mH. \end{matrix}