Feladat:	4393. fizika feladat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Sárvári Péter ,  Ürge László
Füzet:	2012/április, 241 - 243. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Pontrendszer tömegközéppontja, Pontrendszer mozgási energiája, Pontrendszer helyzeti energiája
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2011/december: 4393. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. A közölt adatokon kívül néhány további számadatra is szükségünk lesz, ezeket a hivatkozott videofelvétel és régebbi emlékeink alapján becsülhetjük meg. Az első, durva becslés szerint az atléta sebessége a futásnál kb. $v=10$ m/s, egységnyi testtömegre jutó (ún. fajlagos) mozgási energiája tehát ilyenkor $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{E_{\text{futás}}}{m}=\frac{v^2}{2}\approx 50\frac{\text{J}}{\text{kg}}\mathrm{.}}\end{array}$ A rúdugrásnál, ha $h=5$ m-es emelkedési magassággal számolunk, akkor az egységnyi testtömegre jutó (fajlagos) helyzeti energiája (a talajszinthez viszonyítva) $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{E_{\text{ugrás}}}{m}=gh\approx 50\frac{\text{J}}{\text{kg}}\mathrm{.}}\end{array}$ Ez a két energia ‐ ebben a közelítésben ‐ megegyezik; ha tehát el akarjuk dönteni, hogy melyikük a nagyobb, finomabb megfontolásokat kell alkalmazzunk. A $d=100$ méteres síkfutásnál az atléta maximális sebessége biztosan nagyobb, mint a 9,57 m/s-os átlagsebessége, hiszen nulla kezdősebességről indul. Jó becslés lehet, ha a futást egy kb. $t_1=3$ s ideig tartó egyenletesen gyorsuló mozgásra és a maradék $t_2$ ideig tartó egyenletes, $v$ sebességű mozgásra bontjuk: $\begin{array}{c}{\displaystyle d=\frac{1}{2}a{t}_1^2+v{t}_2\mathrm{.}}\end{array}$ Felhasználva, hogy $v=a{t}_1$: $\begin{array}{c}{\displaystyle d=\frac{1}{2}v{t}_1+v{t}_2\mathrm{,}}\end{array}$ ahonnan a futó maximális sebessége: $\begin{array}{c}{\displaystyle v=\frac{d}{\frac{t_1}{2}+t_2}=\frac{100\text{m}}{1\mathrm{,}5\text{s}+7\mathrm{,}45\text{s}}\approx 11\frac{\text{m}}{\text{s}}\mathrm{,}}\end{array}$ az ennek megfelelő fajlagos mozgási energia pedig kb. 60 J/kg. Arról sem szabad megfeledkeznünk, hogy a futónak is van (a talajszinthez viszonyítva) helyzeti energiája. Az atléta súlypontját megközelítőleg $h_0=1$ méter magasra becsülhetjük, így a fajlagos helyzeti energiája $g{h}_0\approx 10$ J/kg, összenergiája pedig kilogrammonként $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{E_{\text{futás}}}{m}=\frac{1}{2}{v}^2+g{h}_0\approx 70\frac{\text{J}}{\text{kg}}\mathrm{,}}\end{array}$ ami határozottan nagyobb, mint a rúdugrásnál (első közelítésben) számolt érték. Vizsgáljuk most a rúdugrás esetét! Vannak-e olyan (az első közelítésben figyelmen kívül hagyott) tényezők, amelyek még járulékot adhatnak a sportoló mechanikai energiájához, és legleljebb mekkora lehet ez a járulék? A rúdugrónak az 5 méter magas léc fölé kell emelkednie; ha ezt vízszintes testhelyzetben teszi, akkor a tömegközéppontja egy kicsivel, mondjuk 30 cm-rel a léc fölé kell kerülnie. (Ügyes technikával, meghajlított testhelyzettel az is elérhető, hogy a sportoló tömegközéppontja mindvégig a léc alatt maradjon, miközben minden testrésze áthalad a léc fölött.) Ez a kis ráadás a helyzeti energia maximális értékét (most már a pontosabb $g$-vel számolva) 52 J/kg-ra növeli. A rudugrónak az ugrás legmagasabb pontjában (tehát amikor a függőleges irányú sebessége nullára csökkent) rendelkeznie kell valamekkora vízszintes sebességgel, ha át akar haladni a léc felett. Ez a sebesség kb. 1 m/s, amit onnan tudunk, hogy az 5 méteres esés kb. 1 másodpercnyi ideje alatt alig 1 méternyit távolodik el a léc tartóoszlopainak síkjától (lásd a videofelvételt). A vízszintes irányú mozgáshoz tartozó fajlagos energiajárulék tehát mindössze 0,5 J/kg, a többi tag mellett nem számottevő. Ugyanilyen nagyságrendű, legfeljebb 1 J/kg a sportoló testének forgásából származó energia is. (A videofelvételen látjuk: az esés 1 másodpercnyi ideje alatt a földet érésig kb. fél fordulatot tesz meg a léc felett vízszintes testhelyzetben áthaladó és a földre is vízszintes helyzetben érkező sportoló.) Mindent összevetve a rúdugró mechanikai energiája tömegegységenként legfeljebb 55 J/kg, vagyis biztosan kevesebb, mint a síkfutásnál számolt 70 J/kg. Ehhez a következtetéshez hosszas számolás nélkül is eljuthattunk volna, ha meggondoljuk: a rúdugró mechanikai energiája a léc feletti helyzetben legfeljebb akkora lehet, mint amekkora a nekifutás során elért legnagyobb mozgási + helyzeti energiája volt. Mivel a sportoló ‐ a kezében lévő rúd miatt ‐ rúdugrásnál biztosan nem tud olyan gyorsan futni, mint a 100 méteres síkfutás során, a helyzeti energiája pedig mindkét futásnál ugyanakkora, az összes mechanikai energiája a síkfutásnál volt nagyobb.   Megjegyzések. 1. A megoldás során hallgatólagosan feltételeztük, hogy a sportoló tömege a két olimpia között eltelt 4 évben nem változott meg számottevően. 2. Ha a helyzeti energiákat nem a talajszinthez, hanem valamilyen más magassághoz (pl. a futó tömegközéppontjának magasságához) viszonyítjuk, akkor a mechanikai energiák számértéke megváltozik, de a különbségük ugyanakkora marad. Emiatt értelmetlen arról beszélni, hogy hányszor nagyobb az egyik esetben az összenergia a másiknál.