Feladat:	4383. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	(R. Gy.)
Füzet:	2012/április, 238 - 240. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Hullámterjedés 3 dimenzióban, Hangsebesség
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2011/november: 4383. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. $a)$ Tegyük fel, hogy a gép vízszintesen és egyenesen repül. Tekintsük a hangrobbanást okozó repülőgép útjának egy rövid, $\Delta s$ hosszúságú szakaszát. Jelöljük $v$-vel a gép, $c$-vel a hang sebességét. Legyen $\Delta t$ az a rövid időtartam, amely során a hang kibocsátását követjük, vagyis $\Delta t=\Delta s/v$. Hogyan képzelhető el, hogy ezen $\Delta t$ idő alatt kibocsátott hang gyakorlatilag egyszerre érkezik el hozzánk? Jelöljük $r_1$-gyel a gép tőlünk vett távolságát a $\Delta s$ útszakasz elején, $r_2$-vel pedig az útszakasz végén. A $\Delta s$ útszakasz elején kibocsátott hang $t_1=r_1/c$ idő múlva érkezik el hozzánk. Az útszakasz végén kibocsátott hang $\Delta t$ idő múlva indul el, majd $t_2=r_2/c$ idő eltelte után érkezik meg. A hangrobbanás létrejöttének feltétele, hogy ez a két hang (s persze a kettő között kibocsátott összes többi hang is) gyakorlatilag egyszerre érkezzék meg, vagyis $\begin{array}{c}{\displaystyle \Delta t+t_2=t_1}\end{array}$ legyen. Az időket a sebességekkel kifejezve: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{\Delta s}{v}+\frac{r_2}{c}=\frac{r_1}{c}\mathrm{,}}\end{array}$ vagyis $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{\Delta s}{v}=\frac{r_1-r_2}{c}\mathrm{.}}\end{array}$ (1)     1. ábra   Az 1. ábráról leolvasható, hogy ha $\Delta s$ elég kicsi $r_1$-hez és $r_2$-höz képest, akkor jó közelítésben írhatjuk: $\begin{array}{c}{\displaystyle r_1-r_2=\Delta s\text{sin}\alpha \mathrm{.}}\end{array}$ Ezt felhasználva az (1) egyenlet alapján a következőt kapjuk: $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{sin}\alpha =\frac{c}{v}\mathrm{.}}\end{array}$ Innen látszik, hogy a hangrobbanás létrejöttének szükséges feltétele $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{c}{v}\le \mathrm{1,}\text{vagyis}v\ge c\mathrm{,}}\end{array}$ tehát a repülőgép sebessége nem lehet kisebb a hang sebességénél.     2. ábra   Kiegészítés. A $P$ pontból és a hozzá közeli pontokból kiinduló gömbhullámok ,,egymásra torlódva'' olyan hullámfrontot hoznak létre, amely $M$ felé halad, a haladási irányra merőleges $(TQ\parallel MR$) hullámfelülettel (2. ábra). Mire a hullámfront az $M$ megfigyelőhöz ér, a repülőgép már az $R$ pontban van. A gép az egész $PR$ úton bocsátott ki hullámokat, vagyis az összetorlódott hullámokból addigra már az egész $MR$ szakasza illeszkedő hullámfelület alakult ki. Ezt segít elképzelni a 3. ábra.     3. ábra   Az ábrán látható körök a repülőgép által kibocsátott gömbhullámokat szemléltetik, ezek burkolója egy kúpfelület, amelynek csúcsa $R$-ben van, félnyílásszöge pedig $\alpha$. A hangnál gyorsabban mozgó tárgyakra vonatkozó elmélet kidolgozója Ernst Mach (1838‐1916) osztrák fizikus volt. Tiszteletére ezt a kúpot Mach-kúpnak nevezik. Innen is leolvasható a $\text{sin}\alpha =c/v$ összefüggés.   $b)$ A hangrobbanás létrejöttéhez nem szükséges, hogy a repülőgép hajtóművei működjenek és hangot adjanak ki. A gép kikapcsolt hajtóművel is tud hangrobbanást kelteni, ahogy egy kilőtt puskalövedék is ,,fütyül'', miközben repül a levegőben. Vagy egy másik példa: egy hajó akkor is kelt vízhullámokat, amikor semmi nem mozog fel-le rajta, csak szépen siklik előre a vízben. Orrhullámnak nevezik, ami a hajó orrától indul el, tathullámnak azt, ami a hajó mögül indul. A hangsebességnél gyorsabban repülő puskagolyóról (lövedékről) készített gyorsfényképen jól látszik, hogy a lövedék elején és a végét követően is indul el egy-egy lökéshullám, a sebességek arányának megfelelő Mach-szögben (lásd a hátsó borítót). Az űrsikló leszállásakor hasonlóképpen két lökéshullám követi egymást, amelyeket a hirtelen bekövetkező nyomásingadozás vált ki a levegőben. Egyik lökéshullám az űrsikló elejéről indul, a másik az űrsikló vége után alakul ki. Ezért hallhattak a földi megfigyelők az Endeavour űrsikló közeledtekor is gyors egymásutánban két ,,távoli'' hangrobbanást.   Kiegészítés. Mivel a leszálló űrsikló nem egyenes pályán halad, elvileg többször is teljesülhet a hangrobbanásnak a feladatban megfogalmazott feltétele. Ilyenkor a földi megfigyelő több hangrobbanást is hallhat egymás után.