Feladat:	4376. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Vajda Balázs
Füzet:	2012/április, 236 - 237. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Sikkondenzátor, Dielektrikumok
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2011/október: 4376. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. $a)$ Mivel a sorbakapcsolt kondenzátorok töltése megegyezik, azaz $Q_1=Q_2=Q$, és a feszültségek összege az akkumulátor kapocsfeszültségével egyenlő: $\begin{array}{c}{\displaystyle U_1+U_2=U_0\mathrm{,}\text{ahol}{U}_1=\frac{Q}{C_1}\text{és}{U}_2=\frac{Q}{C_2}\mathrm{,}}\end{array}$ innen az egyes kondenzátorok feszültsége: $\begin{array}{c}{\displaystyle U_1=\frac{C_2}{C_1+C_2}{U}_0=2\mathrm{,}4\text{V};U_2=\frac{C_1}{C_1+C_2}{U}_0=21\mathrm{,}6\text{V}\mathrm{.}}\end{array}$ Az üveg behelyezése után az egyik kondenzátor kapacitása változatlan marad $\left(C_1^{*}=C_1\right)$, a másiké viszont az üveg relatív dielektromos állandójának megfelelő arányban nő: $C_2^{*}={\epsilon }_{\text{r}}{C}_2$. Az új helyzetben a kondenzátorok feszültsége így alakul: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle U_1^{*}}& {\displaystyle =\frac{C_2^{*}}{C_1^{*}+C_2^{*}}{U}_0=\frac{{\epsilon }_{\text{r}}{C}_2}{C_1+{\epsilon }_{\text{r}}{C}_2}{U}_0;}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }\\ \hfill {\displaystyle \text{illetve}}\\ \hfill {\displaystyle U_2^{*}}& {\displaystyle =\frac{C_1^{*}}{C_1^{*}+C_2^{*}}{U}_0=\frac{C_1}{C_1+{\epsilon }_{\text{r}}{C}_2}{U}_0\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ A kondenzátorok energiája az $E=C{U}^2/2$ általános képletből számolható. Az energia-változásokra megadott feltétel szerint: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1}{2}{C}_2^{*}{U_2^{*}}^2-\frac{1}{2}{C}_2{U_2}^2=\frac{1}{2}{C}_1^{*}{U_1^{*}}^2-\frac{1}{2}{C}_1{U_1}^2\mathrm{,}}\end{array}$ ahonnan (algebrai átalakítások után) az $\begin{array}{c}{\displaystyle {\epsilon }_{\text{r}}\left(C_1-{\epsilon }_{\text{r}}{C}_2\right){\left(C_1+C_2\right)}^2={\left(C_1+{\epsilon }_{\text{r}}{C}_2\right)}^2\left(C_1-C_2\right)\mathrm{,}}\end{array}$ majd az adatokat behelyettesítve az $\begin{array}{c}{\displaystyle {\epsilon }_{\text{r}}^2-7{\epsilon }_{\text{r}}+6=0}\end{array}$ másodfokú egyenletet kapjuk. Ennek egyik gyöke $\left({\epsilon }_{\text{r}}=1\right)$ az eredeti állapotnak felel meg, a számunkra érdekes másik gyök pedig ${\epsilon }_{\text{r}}=6$. Az alkalmazott üvegszigetelés tehát hatszorosára növeli a második kondenzátor kapacitását. $b)$ A kondenzátorok energiájának változása például az első kondenzátorra vonatkozó $\begin{array}{c}{\displaystyle \Delta E=\frac{C_1}{2}\left({U_1^{*}}^2-{U_1}^2\right)=\frac{C_1{U}_0^2}{2}\left[{\left(\frac{{\epsilon }_{\text{r}}{C}_2}{C_1+{\epsilon }_{\text{r}}{C}_2}\right)}^2-{\left(\frac{C_2}{C_1+C_2}\right)}^2\right]}\end{array}$ összefüggésből számítható, és numerikusan $\Delta E=7\mathrm{,}78\cdot {10}^{-9}\text{J}\approx 7\mathrm{,}8$ nJ-nak adódik.