Feladat:	4369. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	2012/március, 180 - 182. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Gyűjtőlencse
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2011/szeptember: 4369. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Az 1. ábra a $T$ pontban levő fényforrás $K$ képének kialakulását mutatja két nevezetes sugármenet segítségével. (A jobb áttekinthetőség kedvéért az ábrát az optikai tengelyre merőleges irányban megnyújtottuk, ez azonban a szerkesztéseket nem rontja el.)     A lencsetörvény szerint $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1}{t}+\frac{1}{k}=\frac{1}{f}\mathrm{,}}\end{array}$ azaz $\begin{array}{c}{\displaystyle k=\frac{tf}{t-f}\mathrm{.}}\end{array}$ (1) A $OAF$ és $BAK$ háromszögek hasonlósága miatt a $BA$ szakasz hossza $k/4$, és így ‐ Pitagorasz tétele szerint ‐ a $K$ képpont távolsága $A$-tól: $\begin{array}{c}{\displaystyle d=AK=\sqrt[]{k^2+{\left(\frac{k}{4}\right)}^2}=\frac{\sqrt[]{17}}{4}k\mathrm{,}}\end{array}$ ami (1) felhasználásával így is írható: $\begin{array}{c}{\displaystyle d=\frac{\sqrt[]{17}}{4}\frac{tf}{t-f}\mathrm{.}}\end{array}$ (2) Az optikai tengellyel párhuzamos $TA$ egyenes mentén mozgó tárgy képe az $AF$ egyenesen fog mozogni. Ha a tárgy a mozgása során egy rövid idő alatt $T$-ből $T\text{'}$-be kerül, a képe ugyanezen időtartam alatt $K$-ból $K\text{'}$-be érkezik. Ha a fényforrás sebessége és a képének sebessége megegyezik, akkor $TT\text{'}=KK\text{'}=x$ elmozdulásoknak is meg kell egyeznie. Eszerint a (2) egyenlőségnek úgy is teljesülnie kell, ha $t$ helyébe $t-x$-et, $d$ helyébe pedig $d+x$-et írunk, amennyiben $x\ll t$ és $x\ll d$. Fennáll tehát: $\begin{array}{c}{\displaystyle d+x=\frac{\sqrt[]{17}}{4}\frac{\left(t-x\right)f}{t-x-f}\mathrm{.}}\end{array}$ (3) Algebrai átalakítások után (2) és (3) így írható: $\begin{array}{c}{\displaystyle 4\left(td-fd\right)=\sqrt[]{17}tf\mathrm{,}}\end{array}$ (2') $\begin{array}{c}{\displaystyle 4\left(td+xt-xd-x^2-fd-xf\right)=\sqrt[]{17}\left(tf-xf\right)\mathrm{.}}\end{array}$ (3') Képezzük a $\left(2\text{'}\right)$ és $\left(3\text{'}\right)$ egyenletek különbségét: $\begin{array}{c}{\displaystyle 4\left(d+x+f-t\right)x=\sqrt[]{17}xf\mathrm{,}}\end{array}$ egyszerűsítsünk $x$-szel, majd hanyagoljuk el $t$ mellett a hozzá képest nagyon kicsiny $x$-et! Azt kapjuk, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle f+d-t=\frac{\sqrt[]{17}}{4}f\mathrm{,}}\end{array}$ ami (2) felhasználásával így írható: ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle f-t+\frac{\sqrt[]{17}}{4}\frac{tf}{t-f}=\frac{\sqrt[]{17}}{4}f\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle t-f=\frac{\sqrt[]{17}}{4}\left(\frac{tf}{t-f}-f\right)=\frac{\sqrt[]{17}}{4}\frac{f^2}{t-f}\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle {\left(t-f\right)}^2=\frac{\sqrt[]{17}}{4}{f}^2\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle t=\left(1\pm \frac{\sqrt[4]{17}}{2}\right)f\mathrm{.}}\hfill & \text{(<mn>4</mn>)}\end{array}}$ A negatív előjel (4)-ben $t<0$ tárgytávolságot eredményezne, ez egy valódi fényforrásnál nem lehetséges.   Megjegyzés. A negatív tárgytávolság egy másik leképező eszköz által létrehozott virtuális tárgyként értelmezhető, de jelen esetben még ez sem lenne elfogadható, mert olyan közel lenne a lencséhez, hogy a fénysugarak az optikai tengellyel túlságosan nagy szöget zárnának be, emiatt a lencsetörvény egyszerű alakja alkalmazhatatlanná válna.   A feladat feltételének tehát csak a  $\begin{array}{c}{\displaystyle t=\left(1+\frac{\sqrt[4]{17}}{2}\right)f\approx 2\mathrm{,}015f}\end{array}$ tárgytávolság felel meg, ebben a helyzetben mozog a tárgy és a kép ugyanakkora sebességgel.     Ez az eredmény a (2) összefüggéssel megadott $d\left(t\right)$ függvény grafikus ábrázolásával (2. ábra) és a $-1$ meredekségű érintő megkeresésével, vagy differenciálszámítással, a ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle d\text{'}\left(t\right)}& {\displaystyle =\frac{\sqrt[]{17}}{4}\left(\frac{f}{t-f}-\frac{tf}{{\left(t-f\right)}^2}\right)=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle =-\frac{\sqrt[]{17}}{4}\frac{f^2}{{\left(t-f\right)}^2}=-1}\hfill \end{array}}$ egyenlet megoldásával is megkapható.