A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Egy-egy tömör gumihenger tehetetlenségi nyomatéka Feltételezzük, hogy a láda egyszerre számú görgővel érintkezik, s amikor a felső fele legurul az egyik görgőről, éppen akkor érkezik az alsó fele egy újabb gumihengerhez. (A végsebesség szempontjából nem lényeges feltevés, hogy a láda hossza legyen egész számú többszöröse a görgők távolságának; ez csupán a számolást egyszerűsíti.) 1. ábra Tegyük fel, hogy amikor a lefelé mozgó láda hátsó (felső) éle éppen elhagyja az egyik görgő tetejét, akkor a láda sebessége (1. ábra), amikor pedig majdnem a következő görgőhöz ér, akkor (2. ábra). Ezen két állapot között a láda tömegközéppontja mélyebbre kerül, gravitációs helyzeti energiája tehát lecsökken, a láda és a vele érintkező darab görgő (az ábrákon ) mozgási energiája pedig megnő.
2. ábra A mozgás ezen szakaszában a láda nem csúszik a görgőkhöz képest, így alkalmazhatjuk a mechanikai energiamegmaradás törvényét:
ahol (a tiszta gördülés miatt) . A fenti összefüggés ismert alakjának felhasználásával így is írható: | | (1) |
3. ábra Amikor a láda rácsúszik a következő, kezdetben még álló gumihengerre, a nagy súrlódás miatt egy rövid ideig nagy erők lépnek fel a láda és a görgők között. Ezen erők hatására a láda sebessége és a vele együtt forgó darab gumihenger kerületi sebessége lecsökken, az álló gumihenger pedig forogni kezd, kerületi sebessége addig nő, míg el nem éri a láda sebességét. Ha ez a sebesség éppen a korábbi lesz (3. ábra), akkor a folyamat periodikusan ismétlődve folytatódik, tehát ez lesz a láda ,,állandósult'' (pontosabban állandóan és között ingadozó) végsebessége. A görgők és a láda hirtelen (szög)sebességváltozását a súrlódási erők nagy erőlökései okozzák, ezek mellett a nehézségi erő szerepe elhanyagolható. Ha az erőlökéseket a 3. ábrán látható módon jelöljük, a láda lendületváltozását és a görgők perdületváltozását így írhatjuk le:
Ezekből ‐ az erőlökések kiküszöbölése után ‐ adódik: | | (2) |
Ha elosztjuk (1)-et (2)-vel, és kihasználjuk, hogy , a láda legnagyobb sebességére a következő kifejezés adódik: | | ami esetén így alakul: Megjegyzések. 1. Hibás az a gondolat, miszerint a láda és a gumihengerek között fellépő csúszó súrlódás figyelmen kívül hagyható, és az állandósult sebesség az energiaviszonyokból meghatározható. Ha azt gondoljuk, hogy a láda helyzeti energiájának változása pontosan fedezi a felpörgetett görgők mozgási energiáját, a helyes végsebesség -szeresét kapjuk. Ténylegesen ezen energiák aránya (egy-egy gumihengernyi elmozdulásnál): | | vagyis a láda helyzeti energiájának csak a fele növeli a gumihengerek mozgási (forgási) energiáját, a másik fele súrlódási hővé alakul. Érdekes, hogy ez az 1/2-es arány független a súrlódási együttható nagyságától. 2. A (2) egyenletből leolvashatjuk, hogy a láda relatív sebességingadozása, valóban kicsi, ha a és az feltételek bármelyike teljesül.
|
|