Kezdőlap


Feladat:	4341. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Jéhn Zoltán , Szemes Gábor Bence
Füzet:	2011/december, 564 - 566. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Egyéb rögzített tengely körüli forgás, Egyenesvonalú mozgás lejtőn
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2011/április: 4341. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Egy-egy tömör gumihenger tehetetlenségi nyomatéka

\begin{matrix} Θ = \frac{1}{2} m R^{2} . \end{matrix}

Feltételezzük, hogy a láda egyszerre

N ≫ 1

számú görgővel érintkezik, s amikor a felső fele legurul az egyik görgőről, éppen akkor érkezik az alsó fele egy újabb gumihengerhez. (A végsebesség szempontjából nem lényeges feltevés, hogy a láda hossza legyen egész számú többszöröse a görgők távolságának; ez csupán a számolást egyszerűsíti.)

1. ábra

Tegyük fel, hogy amikor a lefelé mozgó láda hátsó (felső) éle éppen elhagyja az egyik görgő tetejét, akkor a láda sebessége

v_{1}

(1. ábra), amikor pedig majdnem a következő görgőhöz ér, akkor

v_{2}

(2. ábra). Ezen két állapot között a láda tömegközéppontja mélyebbre kerül, gravitációs helyzeti energiája tehát lecsökken, a láda és a vele érintkező

N

darab görgő (az ábrákon

N = 4

) mozgási energiája pedig megnő.

2. ábra

A mozgás ezen szakaszában a láda nem csúszik a görgőkhöz képest, így alkalmazhatjuk a mechanikai energiamegmaradás törvényét:

\begin{matrix} 2 M g R sin α & = & \frac{1}{2} M (v_{2}^{2} - v_{1}^{2}) + \\ + N \cdot \frac{1}{2} Θ (ω_{2}^{2} - ω_{1}^{2}), \end{matrix}

ahol (a tiszta gördülés miatt)

ω_{1,2} = v_{1,2} / R

. A fenti összefüggés

Θ

ismert alakjának felhasználásával így is írható:

\begin{matrix} 4 M g R sin α = (M + N \frac{m}{2}) (v_{2} - v_{1}) (v_{2} + v_{1}) . \end{matrix}

(1)

3. ábra

Amikor a láda rácsúszik a következő, kezdetben még álló gumihengerre, a nagy súrlódás miatt egy rövid ideig nagy erők lépnek fel a láda és a görgők között. Ezen erők hatására a láda sebessége és a vele együtt forgó

N - 1

darab gumihenger kerületi sebessége lecsökken, az álló gumihenger pedig forogni kezd, kerületi sebessége addig nő, míg el nem éri a láda sebességét. Ha ez a sebesség éppen a korábbi

v_{1}

lesz (3. ábra), akkor a folyamat periodikusan ismétlődve folytatódik, tehát ez lesz a láda ,,állandósult'' (pontosabban állandóan

v_{1}

és

v_{2}

között ingadozó) végsebessége.
A görgők és a láda hirtelen (szög)sebességváltozását a súrlódási erők nagy erőlökései okozzák, ezek mellett a nehézségi erő szerepe elhanyagolható. Ha az erőlökéseket a 3. ábrán látható módon jelöljük, a láda lendületváltozását és a görgők perdületváltozását így írhatjuk le:

\begin{matrix} M (v_{2} - v_{1}) = S_{1} Δ t - (N - 1) S_{2} Δ t, \\ R S_{1} Δ t = Θ ω_{1} = \frac{1}{2} m R^{2} \frac{v_{1}}{R}, R S_{2} Δ t = Θ (ω_{2} - ω_{1}) = \frac{1}{2} m R^{2} (\frac{v_{2}}{R} - \frac{v_{1}}{R}) . \end{matrix}

Ezekből ‐ az erőlökések kiküszöbölése után ‐ adódik:

\begin{matrix} \frac{1}{2} m v_{1} = (M + \frac{N - 1}{2} m) (v_{2} - v_{1}) . \end{matrix}

(2)

Ha elosztjuk (1)-et (2)-vel, és kihasználjuk, hogy

v_{1} \approx v_{2} = v_{max}

, a láda legnagyobb sebességére a következő kifejezés adódik:

\begin{matrix} v_{max} = \sqrt[]{\frac{4 M g R sin α}{m} \frac{N m + 2 M}{(N - 1) m + 2 M}}, \end{matrix}

ami

N ≫ 1

esetén így alakul:

\begin{matrix} v_{max} \approx \sqrt[]{\frac{4 M g R sin α}{m}} . \end{matrix}

Megjegyzések. 1. Hibás az a gondolat, miszerint a láda és a gumihengerek között fellépő csúszó súrlódás figyelmen kívül hagyható, és az állandósult sebesség az energiaviszonyokból meghatározható. Ha azt gondoljuk, hogy a láda helyzeti energiájának változása pontosan fedezi a felpörgetett görgők mozgási energiáját, a helyes végsebesség

\sqrt[]{2}

-szeresét kapjuk. Ténylegesen ezen energiák aránya (egy-egy gumihengernyi elmozdulásnál):

\begin{matrix} \frac{Δ E_{mozgási}}{Δ E_{helyzeti}} = \frac{\frac{1}{4} m v^{2}}{2 M g R sin α} = \frac{1}{2}, \end{matrix}

vagyis a láda helyzeti energiájának csak a fele növeli a gumihengerek mozgási (forgási) energiáját, a másik fele súrlódási hővé alakul. Érdekes, hogy ez az 1/2-es arány független a súrlódási együttható nagyságától.
2. A (2) egyenletből leolvashatjuk, hogy a láda relatív sebességingadozása,

\frac{v_{2} - v_{1}}{v_{1}}

valóban kicsi, ha a

M ≫ m

és az

N ≫ 1

feltételek bármelyike teljesül.