Kezdőlap


Feladat:	4319. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Gnädig Péter
Füzet:	2011/december, 563. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Felületi feszültségből származó erő
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2011/február: 4319. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Az $L$ hosszú félkörívnek megfelelő átmérő $D = 2 L / π$ , ekkora a drótkeret felső, vízszintes élének hossza.
Írjuk fel a hártyát tartó drótkeretre ható függőleges irányú erők egyensúlyának feltételét!

A fonalakat (azok minden pontjában)

F / 2

nagyságú erő feszíti (hiszen a középső pontban a két félkörív végeire összesen

F

erőt fejtünk ki).
A fonalak tehát összesen

\frac{1}{2} F + \frac{1}{2} F = F

erővel húzzák felfelé a drótot. Ugyancsak

F

külső erőnek kell hatnia a drót felső szakaszára, ekkor lesz az egész rendszerre ható külső erők eredője nulla. (Ez az erő lehet pl. a drótkeretet valamilyen állványhoz rögzítő fonál húzóereje.)
Másrészt a szappanhártya

σ D

erővel húzza lefelé a drótot, ahol

σ

a hártya felületi feszültsége (vagyis a hártya peremének egységnyi hosszúságú szakaszán ható húzóerő). Vigyázat: a hártyának 2 oldala van, tehát az így értelmezett felületi feszültség a folyadék levegőre vonatkoztatott felületi feszültségének kétszerese. A keret függőleges szárai mentén a szappanhártya vízszintes erőkkel hat a drótra, ezek az erők most figyelmen kívül hagyhatók.
A tartókeret egyensúlyának feltétele:

\begin{matrix} \frac{1}{2} F + \frac{1}{2} F + F - D σ = 0, \end{matrix}

ahonnan a keresett felületi feszültség

\begin{matrix} σ = \frac{2 F}{D} = \frac{π F}{L} . \end{matrix}

Megjegyzés. A felületi feszültséget (amit a hártya egységnyi felületére jutó energiaként is értelmezhetünk) megpróbálhatjuk a munkatétel felhasználásával kiszámolni. A hártya ,,területét'' (a felület ennek kétszerese!) a deformáció során

\begin{matrix} Δ T = \frac{1}{2} {(\frac{D}{2})}^{2} π - 2 \cdot \frac{1}{2} {(\frac{D}{4})}^{2} π = \frac{L^{2}}{4 π} \end{matrix}

értékkel növeltük meg; a rendszer energiájának növekedése tehát

Δ E = σ Δ T .

A fonal középső pontját

Δ s = D / 2

hosszú úton mozdítjuk el, miközben ‐ legalábbis a legutolsó pillanatban ‐

F

erőt fejtünk ki. Ha a munkatételt (hibásan!)

Δ E = F Δ s

módon írnánk fel, akkor a felületi feszültségre

σ = \frac{4 F}{L}

adódna. Ez azonban csak nagyságrendileg helyes becslésnek tekinthető, csak annyira ,,pontos'', amennyire

π \approx 3

. A hiba forrása: a hártya deformációja során a szükséges erő nem állandó, helyről helyre változik, emiatt a munka nem számolható az egyszerű ,,erőször elmozdulás'' formulából.