Feladat:	4330. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Gnädig Péter ,  Várnai Péter ,  Ürge László
Füzet:	2011/november, 499 - 502. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Egyéb merev test síkmozgások
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2011/március: 4330. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   I. megoldás. A pontszerű test addig marad a pálca mellett, amíg az a maximális sebességre gyorsítja fel, ezután elválnak egymástól. Az elválás pillanatáig egyetlen merev testként mozognak, mintha a kis test hozzá lenne ragasztva a pálcához. A rendszer $S$ tömegközéppontja (súlypontja) a pálca aljától $L/4$ távolságban található. Súrlódásmentes mozgásról van szó, vízszintes irányú külső erők nem hatnak, így ‐ a lendületmegmaradás törvényéből adódóan ‐ a tömegközéppont csak függőleges mozgást végezhet, nem lehet vízszintes sebessége. Számítsuk ki az energiamegmaradás törvényének felhasználásával a pontszerű test $v$ sebességét (vagyis a pálca $A$ pontjához tartozó sebesség vízszintes irányú komponesét) a pálca vízszintessel bezárt $\alpha$ szögének függvényében (1. ábra)!   1. ábra   A test + pálca rendszer mozgási energiáját a súlypont körüli $\omega$ szögsebességű forgásnak megfelelő energia és a tömegközéppont $v_S$ sebességű mozgásából adódó energia összegeként, a helyzeti energia változását pedig a tömegközéppont $h$ elmozdulásából számolhatjuk: $\begin{array}{c}{\displaystyle 2mgh=\frac{1}{2}2m{v}_S^2+\frac{1}{2}J{\omega }^2\mathrm{,}}\end{array}$ (1) ahol $\begin{array}{c}{\displaystyle h=\frac{L}{4}\left(1-\text{sin}\alpha \right)}\end{array}$ (2) a súlypont magasságának csökkenése, $J$ pedig a test és a pálca rendszerének az $S$ súlypontjára vonatkoztatott tehetetlenségi nyomatéka. Ez utóbbit a Steiner-tételt alkalmazva kapjuk meg (először a pálca tehetetlenségi nyomatékát a pálca súlypontjától a közös súlypontba tolva, majd ehhez hozzáadva a test tehetetlenségi nyomatékát a közös súlypontra): $\begin{array}{c}{\displaystyle J=\left(\frac{1}{12}m{L}^2+m\frac{L^2}{16}\right)+m\frac{L^2}{16}=\frac{5}{24}m{L}^2\mathrm{.}}\end{array}$ (3) Az $A$ pont ($S$ körüli forgásából adódó) kerületi sebessége: $\begin{array}{c}{\displaystyle v_A=\frac{L}{4}\omega \mathrm{.}}\end{array}$ (4) Ennek függőleges összetevője egyenlő kell legyen $v_S$-sel, hiszen (az alaplaphoz viszonyítva) az $A$ végpont függőleges sebessége nulla. Eszerint fennáll: $\begin{array}{c}{\displaystyle v_S=v_A\text{cos}\alpha \mathrm{.}}\end{array}$ (5) Másrészt a pontszerű test sebessége így adható meg: $\begin{array}{c}{\displaystyle v=v_A\text{sin}\alpha \mathrm{.}}\end{array}$ (6) Az (1)‐(6) egyenletekből megkapjuk a pálca szögsebességét: $\begin{array}{c}{\displaystyle \omega =\sqrt[]{\frac{g}{L}}\sqrt[]{\frac{1-\text{sin}\alpha }{\frac{1}{3}-\frac{1}{8}\text{sin}{}^2\alpha }}\mathrm{,}}\end{array}$ (7) a kis test sebességét az $\alpha$ szög függvényében: $\begin{array}{c}{\displaystyle v\left(\alpha \right)=\sqrt[]{\frac{gL\left(1-\text{sin}\alpha \right)}{\frac{16}{3}-2\text{sin}{}^2\alpha }}\text{sin}\alpha \mathrm{.}}\end{array}$ A függvény deriválásával vagy grafikonjának megrajzolásával megállapítható, hogy maximális értékét az $\alpha =45\mathrm{,}{4}^{\circ }$ esetén éri el, ekkor a maximális sebesség: $\begin{array}{c}{\displaystyle v_{\text{max}}\approx 0\mathrm{,}82\frac{\text{m}}{\text{s}}\mathrm{.}}\end{array}$   II. megoldás. A feladat differenciálszámítás alkalmazása nélkül is megoldható! Amikor a kis test sebessége maximális, a gyorsulása nulla, tehát ebben a pillanatban a rúd és a kis test között nem hat erő. Jelöljük a pálcára ható erőket, illetve a pálca szögsebességét és szöggyorsulását a 2. ábrán látható módon!   2. ábra   Az ábrán (vékonyabb vonallal rajzolt nyilakkal) bejelöltük a pálca tömegközéppontjának gyorsulását, valamint az $A$ pontnak a tömegközépponthoz viszonyított centripetális és tangenciális (érintőleges) gyorsulását is. A következő mozgásegyenleteket írhatjuk fel. A pálca tömegközéppontjának függőleges mozgására: $\begin{array}{c}{\displaystyle mg-N=ma\mathrm{,}}\end{array}$ (8) a vízszintes (ebben a pillanatban éppen erőmentes) mozgásra: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{L}{2}{\omega }^2\text{cos}\alpha -\frac{L}{2}\beta \text{sin}\alpha =\mathrm{0,}}\end{array}$ (9) és a pálca forgására: $\begin{array}{c}{\displaystyle N\frac{L}{2}\text{cos}\alpha =\frac{1}{12}m{L}^2\cdot \beta \mathrm{.}}\end{array}$ (10) Tudjuk még, hogy az $A$ pont nem gyorsulhat függőlegesen, tehát $\begin{array}{c}{\displaystyle a-\frac{L}{2}\beta \text{cos}\alpha -\frac{L}{2}{\omega }^2\text{sin}\alpha =0.}\end{array}$ (11) A (9) összefüggésből $\begin{array}{c}{\displaystyle \beta ={\omega }^2\frac{\text{cos}\alpha }{\text{sin}\alpha }\mathrm{,}}\end{array}$ (10)-ből $\begin{array}{c}{\displaystyle N=\frac{1}{6}\frac{mL}{\text{cos}\alpha }\beta =\frac{mL{\omega }^2}{6\text{sin}\alpha }\mathrm{,}}\end{array}$ (11)-ből pedig $\begin{array}{c}{\displaystyle a=\frac{L}{2}{\omega }^2\left(\frac{\text{cos}{}^2\alpha }{\text{sin}\alpha }+\text{sin}\alpha \right)=\frac{L}{2\text{sin}\alpha }{\omega }^2}\end{array}$ adódik. Ezeket (8)-ba helyettesítve az $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{g}{L}=\frac{2{\omega }^2}{3\text{sin}\alpha }}\end{array}$ egyenlet kapjuk, amely az I. megoldásban megkapott, az energiamegmaradást kifejező (7) felhasználásával így is írható: $\begin{array}{c}{\displaystyle 3\text{sin}{}^3\alpha -24\text{sin}\alpha +16=0.}\end{array}$ Ennek az $x=\text{sin}\alpha$-ra harmadfokú egyenletnek 0 és 1 közé eső gyöke: $x=0\mathrm{,}712$, vagyis $\alpha =44\mathrm{,}{6}^{\circ }$, és ennek megfelelően a kis test sebessége (ami ugyanolyan nagy, mint a pálca középpontjának vízszintes irányú sebessége): $\begin{array}{c}{\displaystyle v=\frac{1}{2}\cdot \frac{L\omega }{2}\text{sin}\alpha =0\mathrm{,}82\frac{\text{m}}{\text{s}}\mathrm{.}}\end{array}$   Megjegyzés. A tömegközéppont mozgásának ismeretében a Newton-egyenletből ‐ minden $\alpha$ szögre ‐ kiszámíthatjuk és ábrázolhatjuk a pálca és a síklap között ható $N$ nyomóerőt. Ez az erő a mozgás során mindvégig pozitív marad, tehát a pálca nem válik el a síklaptól.