Kezdőlap


Feladat:	4353. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Béres Bertold , Filep Gábor
Füzet:	2011/október, 439 - 440. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Gauss-törvény, Egyéb elektromos mező
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2011/május: 4353. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Vizsgáljuk először a jobb oldali pálca által létrehozott elektromos teret! Mivel a pálca igen hosszú és egyenletesen töltött, a térerősség iránya merőleges a pálcára, nagysága a pálcától $r$ távolságra a Gauss-féle fluxustörvény segítségével határozható meg.
A pálca $ℓ$ hosszúságú, tehát $λ \cdot ℓ$ töltésű darabját körülvéve egy $r$ sugarú hengerpalásttal és az azt lezáró körlapokkal (1. ábra), Gauss törvénye szerint

\begin{matrix} \frac{1}{ε_{0}} \cdot λ ℓ = E (r) \cdot 2 π r ℓ, \end{matrix}

amelyből a térerősség nagysága:

\begin{matrix} E (r) = \frac{λ}{2 π ε_{0}} \cdot \frac{1}{r} . \end{matrix}

1. ábra

2. ábra

Ábrázoljuk most az eredeti elrendezést úgy, hogy az egyik pálca merőleges legyen a rajz síkjára, tehát egyetlen

O

pontnak látszódjék (2. ábra). A másik pálcának az ábrán látható

P

ponttól

x

távolságra levő, igen kicsiny

Δ x

hosszúságú, az

O

pontból

Δ α

szög alatt látszó darabkáján

Δ Q = λ Δ x

töltés található. Erre a töltésre az elektromos mező a szálra merőleges irányban

\begin{matrix} Δ F = E_{⊥} (r) Δ Q = \frac{λ^{2}}{2 π ε_{0}} \cdot \frac{1}{r} cos α \cdot Δ x \end{matrix}

nagyságú erőt fejt ki. (Az erő szálirányú komponensei az eredő erő számításánál kiejtik egymást.)
A 2. ábrán sötétebben jelölt kicsiny szakasz hosszát kifejezhetjük
a

Δ α

szöggel:

Δ x = \frac{r Δ α}{cos α}

, és ebből a kérdéses szakaszra ható erőre a

\begin{matrix} Δ F = \frac{λ^{2}}{2 π ε_{0}} \cdot Δ α \end{matrix}

összefüggés adódik.
A műanyagpálcára ható teljes erő az egyes darabkáira ható

Δ F

-ek összegeként számolható. Mivel a nagyon hosszú pálca egésze az

O

pontból

\sum Δ α \approx π

szögben látszik, a keresett eredő erő

\begin{matrix} F = \sum Δ F = \frac{λ^{2}}{2 ε_{0}} = 2 π k λ^{2}, \end{matrix}

ahol

k

a Coulomb-törvényben szereplő állandó.
Érdekes, hogy az eredő erő nem függ a pálcák közötti

d

távolságtól.