Kezdőlap


Feladat:	4308. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Tamási Mátyás
Füzet:	2011/szeptember, 368 - 370. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Görbevonalú mozgás lejtőn, Hajítások
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2011/január: 4308. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

$a)$ Számítsuk ki először, hogy mekkora sebességgel érkezik a test a félkörív-pálya felső (az 1. ábrán $A$ -val jelölt) pontjához. Ez a pont a lejtő ( $P$ -vel jelzett) tetejénél

\begin{matrix} Δ h = 3 R \cdot sin α - 2 R \cdot cos α = (\frac{3 \sqrt[]{3}}{2} - 1) R \end{matrix}

távolsággal mélyebben van, így a mechanikai energiamegmaradás törvénye szerint fennáll:

\begin{matrix} m g Δ h = \frac{1}{2} m v^{2} . \end{matrix}

1. ábra
Innen az

A

pontbeli sebesség:

\begin{matrix} v = \sqrt[]{2 g R (\frac{3 \sqrt[]{3}}{2} - 1)} \approx 4 \frac{m}{s} . \end{matrix}

Megjegyzés. Ellenőrizhető, hogy test és a hengerfelület közötti nyomóerő az

A

pontban lesz a legkisebb, de még itt is pozitív, tehát a test

A

pont elérése előtt nem válik el a hengertől.

A mozgás további része (egészen a lejtőre csapódásig (

C

) ferde hajítás. A pálya ezen szakaszának legmagasabb pontjánál (

B

) a test függőleges irányú sebessége nulla, a vízszintes sebességkomponens pedig ugyanakkora, mint amekkora az

A

pontban volt:

\begin{matrix} v_{x} = v cos 60^{\circ} = \frac{v}{2} \approx 2 \frac{m}{s} . \end{matrix}

A test mozgási energiája tehát a pálya

B

pontjában

\begin{matrix} E_{m} = \frac{1}{2} m v_{x}^{2} = 0, 4 J. \end{matrix}

b)

A továbbiakban meg akarjuk határozni a becsapódás helyét, melyet pl. a

C

pont és a lejtő tetejének

d

távolságával adhatunk meg. Forgassuk el a (vízszintes-függőleges) koordináta-rendszert úgy, hogy az egyik tengelye a lejtővel párhuzamos, a másik pedig arra merőleges legyen (2. ábra).

2. ábra
Ebben a rendszerben a test mozgása

2 R

,,magasságból'' indított ,,vízszintes'' hajítás, de ez olyan furcsa nehézségi erőtérben történik, amelyben

g

nem merőleges az

x

tengelyre, hanem

60^{\circ}

-os szöget zár be azzal. A hajítás idejét az

y

irányú (kezdősebesség nélküli,

a_{y} = - g cos 60^{\circ} = - \frac{g}{2}

gyorsulású) mozgásból határozhatjuk meg:

\begin{matrix} \frac{1}{2} \frac{g}{2} t^{2} = 2 R, \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} t = \sqrt[]{\frac{8 R}{g}} \approx 0, 64 s. \end{matrix}

Ennyi idő alatt a lejtővel párhuzamos irányban

\begin{matrix} x_{C} = v t - \frac{1}{2} \frac{\frac{\sqrt[]{3}}{2} g}{2} t^{2} \approx 0, 8 m \end{matrix}

utat tesz meg a test, a becsapódás helyét megadó

d

távolság tehát

\begin{matrix} d = 3 R - x_{C} \approx 0, 7 m. \end{matrix}