Feladat:	4303. fizika feladat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Ürge László
Füzet:	2011/május, 306 - 307. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Kirchhoff-törvények
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2010/december: 4303. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Válasszuk az egyes ellenállásokon átfolyó áramokat és a hurkok körüljárási irányát (önkényesen) az ábrán látható módon, és alkalmazzuk Kirchhoff törvényeit: Az I. hurokra $\begin{array}{c}{\displaystyle U_1=I_1{R}_1+I_{3}R\mathrm{,}}\end{array}$ (1) a II. hurokra $\begin{array}{c}{\displaystyle U_2=I_2{R}_2+I_{3}R\mathrm{,}}\end{array}$ (2) és végül a csomóponti törvény: $\begin{array}{c}{\displaystyle I_1+I_2=I_3\mathrm{.}}\end{array}$ (3)     Helyettesítsük be (1), (2) és (3)-ba az ismert adatokat, majd oldjuk meg az egyenletrendszert! A megoldás (az SI mértékegységeket elhagyva): ${\displaystyle \begin{array}{ccc}\hfill {\displaystyle I_1}& {\displaystyle =\frac{208}{5\left(R+64\right)}+\frac{1}{10}\mathrm{,}}\hfill & \text{(<mn>4</mn>)}\\ \hfill {\displaystyle I_2}& {\displaystyle =\frac{40-R}{10\left(R+64\right)}\mathrm{,}}\hfill & \text{(<mn>5</mn>)}\\ \hfill {\displaystyle I_3}& {\displaystyle =\frac{52}{R+64}\mathrm{.}}\hfill & \text{(<mn>6</mn>)}\end{array}}$ Most már könnyen válaszolhatunk a feltett kérdésekre. $a)$ Az $AB$ ágban folyó $I_2$ áram akkor nulla, ha $R=40\Omega$. $b)$ Az $AC$ ágban folyó $I_3$ áram annál nagyobb, minél kisebb az $R$ ellenállás, maximális értéke tehát $R=0$-hoz, a rövidzárhoz tartozik. $c)$ Mivel $\begin{array}{c}{\displaystyle U_{AC}=I_{3}R=\frac{52R}{R+64}=\frac{52}{1+\frac{64}{R}}\mathrm{,}}\end{array}$ ez a feszültség annál nagyobb, minél kisebb az utolsó nevezőben szereplő $\frac{64}{R}$ kifejezés. Ezek szerint az $A$ és $C$ pontok közötti potenciálkülönbség $R\to \infty$ határesetben, vagyis szakadáskor lesz a legnagyobb. $d)$ Az $R$ ellenállásra jutó teljesítmény: $\begin{array}{c}{\displaystyle P=I_3^{2}R=\frac{2704R}{{\left(R+64\right)}^2}=\frac{2704}{(R+\frac{4096}{R})+128}\mathrm{.}}\end{array}$ Ez a kifejezés a maximumát akkor éri el, amikor $R+\frac{4096}{R}$ a lehető legkisebb, vagyis amikor $R=64\Omega$. (Ez differenciálszámítással, vagy a számtani- és mértani közepekre vonatkozó egyenlőtlenségből kapható meg.) $e)$ A (4) összefüggés szerint $I_1$ (a számunkra érdekes $R\ge 0$ tartományban) az $R$ ellenállás monoton csökkenő függvénye, legnagyobb értékét tehát $R=0$ esetén, vagyis rövidzárkor veszi fel. $f)$ Ugyanez érvényes $I_3$-ra is, a maximuma $R=0$-nál van. Megjegyzés. A (6) összefüggésből leolvashatjuk, hogy tetszőleges $R$ ellenálláson átfolyó áram nagysága éppen ugyanakkora, mintha az ellenállást egy $52$ V üresjárati feszültségű és $64\Omega$ belső ellenállású feszültségforrásra kapcsoltuk volna. Ez egy általánosan érvényes ,,helyettesítési tétel'', a Thévenin-tétel speciális esete.  (G. P.)