Feladat:	4299. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Antalicz Balázs ,  Bolgár Dániel ,  Jéhn Zoltán ,  Koncz Gabriella ,  Nagy Lajos
Füzet:	2011/május, 300 - 301. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Egyéb merev test síkmozgások
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2010/december: 4299. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Jelöljük a rúdra ható erőket, a tömegközéppontjának függőleges gyorsulását, valamint a rúd szögsebességét és a szöggyorsulást az ábrán látható módon!     A tömegközéppont vízszintes irányú sebességkomponense időben állandó, nevezetesen $\frac{1}{2}{v}_A$ nagyságú, a tömegközéppont vízszintes gyorsulása tehát nulla. Így a Newton-féle mozgásegyenletek $(\sum \text{<span style="font-weight: bold;"><span style="font-style: italic;">F</span></span>}=m\text{<span style="font-weight: bold;"><span style="font-style: italic;">a</span></span>})$ komponensenként: ${\displaystyle \begin{array}{ccc}\hfill {\displaystyle N_x-F}& {\displaystyle =m{a}_x=\mathrm{0,}}\hfill & \text{(<mn>1</mn>)}\\ \hfill {\displaystyle N_y-mg}& {\displaystyle =m{a}_y\mathrm{,}}\hfill & \text{(<mn>2</mn>)}\end{array}}$ a forgómozgás alapegyenlete $(\Theta \beta =\sum M)$ pedig $\Theta =\frac{1}{12}m{L}^2$ kihasználásával: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1}{12}m{L}^2\beta =N_y\frac{x}{2}-N_x\frac{y}{2}-F\frac{y}{2}\mathrm{.}}\end{array}$ (3) Abban a pillanatban, amikor a rúd felső végpontja ($B$) elválik a faltól, a függőleges fal nem fejt ki erőt a rúdra, $N_x=0$, ahonnan (1) szerint $F=0$ is következik. Ezek ismeretében (3) így alakul: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1}{12}m{L}^2\beta =N_y\frac{x}{2}\mathrm{,}}\end{array}$ (4) amiből $N_y$-t kifejezve és (2)-be helyettesítve kapjuk: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1}{6}{L}^2\beta =\left(a_y+g\right)x\mathrm{.}}\end{array}$ (5) Kihasználhatjuk még azt is, hogy a $B$ pont vízszintes irányú sebessége és gyorsulása, valamint az $A$ pont függőleges irányú gyorsulása nulla. Az előbbi a tömegközéppont sebességéből és a tömegközéppont körüli forgás sebességéből adódóan: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1}{2}{v}_A-\frac{L}{2}\omega \text{cos}\alpha =\mathrm{0,}\text{vagyis}\omega =\frac{v_A}{L\text{cos}\alpha }\mathrm{,}}\end{array}$ amit $\begin{array}{c}{\displaystyle \omega =\frac{v_A}{y}}\end{array}$ (6) alakban is felírhatunk. A másik két kényszerfeltétel a tömegközéppont függőleges gyorsulásával, valamint a forgásból adódó centripetális gyorsulás és tangenciális gyorsulás függőleges komponenseivel fogalmazható meg. A $B$ pont vízszintes gyorsulására ez: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{L}{2}{\omega }^2\text{sin}\alpha -\frac{L}{2}\beta \text{cos}\alpha =\mathrm{0,}}\end{array}$ vagyis $\begin{array}{c}{\displaystyle \beta ={\omega }^2\text{tg}\alpha \mathrm{,}}\end{array}$ (7) az $A$ pont függőleges irányú gyorsulása pedig: $\begin{array}{c}{\displaystyle a_y+\frac{L}{2}{\omega }^2\text{cos}\alpha +\frac{L}{2}\beta \text{sin}\alpha =0.}\end{array}$ Ebből (6) és (7) felhasználásával $\begin{array}{c}{\displaystyle a_y=-\frac{L^2{v}_A^2}{2y^3}}\end{array}$ adódik, amit (5)-be helyettesítve kapjuk, hogy a faltól elválás pillanatában $\begin{array}{c}{\displaystyle y=\sqrt[3]{\frac{2L^2{v}_A^2}{3g}}\approx 1\mathrm{,}49\text{m, }}\end{array}$ a rúd alsó végének faltól mért távolsága pedig $x=\sqrt[]{L^2-y^2}=1\mathrm{,}33\text{m}$.