Feladat:	4297. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Nagyfi Péter
Füzet:	2011/április, 247. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Erők forgatónyomatéka, Egyéb merev test egyensúlya
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2010/december: 4297. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. A lejtőn ,,felfelé'' gurulás furcsa esete akkor valósulhat meg, ha a mozgás során a kettőskúp $T$ tömegközéppontja lesüllyed. Jelöljük a vizsgált elrendezés néhány távolság-adatát az ábrán megadott módon, és hasonlítsuk össze a tömegközéppont magasságát a lejtő aljának ($A$) és tetejének ($B$) megfelelő helyzetekben. Foglalkozzunk először azzal a határesettel, amikor a kettőskúp sehol nem gyorsul a lejtőn, mindenhol egyensúlyban van. Ekkor a tömegközéppontja minden helyzetben, tehát az $A$ és $B$ állapotokban is ugyanolyan magasan helyezkedik el. A lejtő aljánál a tömegközéppont éppen az $A$ pont fölött, attól $r$ távolságban található; hiszen a kettőskúp itt is egyensúlyban van, emiatt a nehézségi erőnek nem lehet forgatónyomatéka az $A$ pontra. (A kísérlet ‐ stabilitási okok miatt ‐ természetesen csak magasabbról indított kettőskúp esetén működik.) A lejtő tetejénél ‐ amikor a kettőskúpnak már csak a csúcsai érintkeznek a lécekkel ‐ a tömegközéppont a lejtő alapsíkjánál $h$-val magasabbra kerül. Közömbös (indifferens) egyensúlyi helyzetben az   $\begin{array}{c}{\displaystyle r=h}\end{array}$ (1)   feltétel teljesül. Mivel fennáll   ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle \ell \cdot \text{sin}\alpha =h\mathrm{,}}\hfill & \text{(<mn>2</mn>)}\\ \hfill {\displaystyle r=x\cdot \text{tg}\gamma }\hfill & \text{(<mn>3</mn>)}\end{array}}$   és   $\begin{array}{c}{\displaystyle x=\ell \cdot \text{tg}\beta \mathrm{,}}\end{array}$ (4)   ezeket az egyenleteket összeszorozva a lehetséges egyszerűsítések után az alábbi összefüggéshez jutunk: $r\cdot \text{sin}\alpha =h\cdot \text{tg}\gamma \text{tg}\beta$. Ezt (1)-gyel összevetve leolvashatjuk, hogy a határesetet $\text{tg}\gamma \text{tg}\beta =\text{sin}\alpha$ valósítja meg, a kísérlet működésének feltétele pedig a határesetnél ,,laposabb'' lejtő, aminél:   $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{tg}\gamma >\frac{\text{sin}\alpha }{\text{tg}\beta }\mathrm{.}}\end{array}$