Feladat:	4298. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bolgár Dániel ,  Kovács Áron
Füzet:	2011/március, 181 - 183. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Kötelek (láncok) dinamikája
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2010/december: 4298. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   I. megoldás. Jelöljük a lejtő, illetve a szőnyeg hosszát $L$-lel, a lejtő hajlásszögét $\alpha$-val, a szőnyeg tömegét $M$-mel, a tömör henger tömegét pedig $m$-mel! Mivel a szőnyeg is és a tömör henger is tisztán, csúszásmentesen gördül, rájuk a nehézségi erő, valamint a lejtő által kifejtett nyomóerő és a tapadási súrlódási erő hat. A nyomóerő és a súrlódási erő munkája zérus, így alkalmazhatjuk a mechanikai energia megmaradásának tételét mind a szőnyeg, mind pedig a tömör henger esetére. Eszerint a gravitációs helyzeti energia és a teljes mozgási energia összege tetszőleges két állapotban, például a kezdőhelyzetben és $x$ út megtétele utáni állapotban ugyanakkora kell legyen.     Foglalkozzunk először a futószőnyeg esetével! Feltételezve, hogy kezdetben csak kis darabon hajtottuk be a szőnyeget, induláskor a helyzeti energiája a lejtő aljához viszonyítva $Mg\frac{L}{2}\text{sin}\alpha$, mozgási energiája pedig nulla. Az energiamegmaradást kifejező egyenlet: ${\displaystyle \begin{array}{ccc}\hfill {\displaystyle }& {\displaystyle Mg\frac{L}{2}\text{sin}\alpha =}\hfill & \text{(<mn>1</mn>)}\\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle =M\left(x\right)g\left(L-x\right)\text{sin}\alpha +\left[M-M\left(x\right)\right]g\frac{L-x}{2}\text{sin}\alpha +\frac{1}{2}M\left(x\right)v^2+\frac{1}{2}\Theta \left(x\right){\omega }^2\mathrm{,}}\hfill \end{array}}$ ahol $M\left(x\right)$ a hengernek tekinthető guruló szőnyegdarab pillanatnyi tömege, $\Theta \left(x\right)$ a pillanatnyi tehetetlenségi nyomatéka, $v$ és $\omega$ pedig a guriga tömegközépponti sebessége és szögsebessége. (Megjegyezzük, hogy a szőnyeg vékonysága miatt a guriga sugarát elhanyagoltuk a szőnyeg hossza mellett, és a helyzeti energia számításánál a tömegközéppontot a lejtő síkjában levőnek tekintettük.) További egyenleteket nyerhetünk, ha felírjuk a guriga tömegét és tehetetlenségi nyomatékát az $x$ elmozdulás függvényében, és kihasználjuk a csúszásmentes gördülés kényszerfeltételét: ${\displaystyle \begin{array}{ccc}\hfill {\displaystyle M\left(x\right)}& {\displaystyle =M\frac{x}{L}\mathrm{,}}\hfill & \text{(<mn>2</mn>)}\\ \hfill {\displaystyle \Theta \left(x\right)}& {\displaystyle =\frac{1}{2}M\left(x\right)r^2\mathrm{,}}\hfill & \text{(<mn>3</mn>)}\\ \hfill {\displaystyle v}& {\displaystyle =\omega r\mathrm{,}}\hfill & \text{(<mn>4</mn>)}\end{array}}$ ahol $r$ a guriga pillanatnyi sugarát jelöli. Ezekből (3) és (4) felhasználásával a szőnyegguriga teljes mozgási energiája (a transzlációs és a rotációs mozgásokhoz tartozó energiák összege) így írható: $\begin{array}{c}{\displaystyle \sum E_{\text{mozg.}}=\frac{1}{2}M\left(x\right)v^2+\frac{1}{2}\Theta \left(x\right){\omega }^2=\frac{1}{2}M\left(x\right)v^2+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}M\left(x\right)r^2{\left(\frac{v}{r}\right)}^2=\frac{3}{4}M\left(x\right)v^2\mathrm{.}}\end{array}$ Ezt (1)-be írva és (2)-t is kihasználva a szőnyegguriga pillanatnyi sebességére $\begin{array}{c}{\displaystyle v_{\text{szőnyeg}}=\sqrt[]{\frac{2}{3}gx\text{sin}\alpha }}\end{array}$ (*) adódik. Tekintsük most egy $R$ sugarú tömör henger tiszta gördülését a lejtőn! A szőnyegnél leírtakhoz hasonlóan, energetikai megfontolásokkal meghatározhatjuk a henger sebességét is a tömegközéppont $x$ elmozdulásának függvényében. Az energiatétel szerint $\begin{array}{c}{\displaystyle mgL\text{sin}\alpha =mg\left(L-x\right)\text{sin}\alpha +\frac{1}{2}m{v}^2+\frac{1}{2}\Theta {\omega }^2\mathrm{,}\text{ahol}\Theta =\frac{1}{2}m{R}^2\mathrm{,}}\end{array}$ és fennáll a tiszta gördülés $\begin{array}{c}{\displaystyle v=R\omega }\end{array}$ feltétele is. Ezekből kapjuk, hogy a tömör henger sebessége $x$ út megtétele után $\begin{array}{c}{\displaystyle v_{\text{henger}}=\sqrt[]{\frac{4}{3}gx\text{sin}\alpha }\mathrm{.}}\end{array}$ (**) $a)$ A $\left(*\right)$ és $\left(**\right)$ összefüggésekből jól látszik, hogy bármely $x$ elmozdulásnál a tömör henger sebessége nagyobb, mint a szőnyeg sebessége ugyanezen a helyen, tehát a tömör henger ér le hamarabb a lejtő aljára; a szőnyeg mozgása hosszabb ideig tart, mint a hengeré. $b)$ Osszuk fel gondolatban a lejtő esésvonalát olyan kicsiny szakaszokra, hogy egy-egy útszakaszon a guriga, illetve a henger sebességét jó közelítéssel állandónak tekinthessük. Mivel a henger sebessége ‐ minden $x$-nél ‐ $\sqrt[]{2}$-ször nagyobb, mint a szőnyeg sebessége ugyanezen a helyen, a henger minden egyes kicsiny útszakaszon $\sqrt[]{2}$-ször rövidebb idő alatt halad végig, mint a szőnyegguriga. Az egyes útszakaszok befutásához szükséges időket összegezve azt is megállapíthatjuk, hogy a szőnyeg a teljes utat $\sqrt[]{2}$-ször hosszabb idő alatt teszi meg, mint a tömör henger, vagyis $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{t_1}{t_2}=\sqrt[]{2}\mathrm{.}}\end{array}$     II. megoldás. Az energiamegmaradás tételét alkalmazva megkaphatjuk, hogy $s$ hosszúságú elmozdulás után a szőnyeg sebessége $\begin{array}{c}{\displaystyle v_{\text{szőnyeg}}=\sqrt[]{\frac{2}{3}gs\text{sin}\alpha }\mathrm{,}}\end{array}$ a tömör henger sebessége pedig $\begin{array}{c}{\displaystyle v_{\text{henger}}=\sqrt[]{\frac{4}{3}gs\text{sin}\alpha }}\end{array}$ lesz. Mindkét esetben a sebesség a megtett út négyzetgyökével arányos, éppen úgy, mint az egyenletesen gyorsuló mozgásnál, ahol $v=\sqrt[]{2as}$. A képletek összevetéséből leolvasható, hogy a megfelelő gyorsulások: $\begin{array}{c}{\displaystyle a_{\text{szőnyeg}}=\frac{1}{3}g\text{sin}\alpha \mathrm{,}\text{illetve}{a}_{\text{henger}}=\frac{2}{3}g\text{sin}\alpha =2\cdot a_{\text{szőnyeg}}\mathrm{.}}\end{array}$ Az egyenletesen gyorsuló mozgás út-idő képlete szerint $\begin{array}{c}{\displaystyle t=\sqrt[]{\frac{2L}{a}}\propto \frac{1}{\sqrt[]{a}}\mathrm{,}}\end{array}$ ugyanakkora utak megtételéhez szükséges idők aránya tehát: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{t_{\text{szőnyeg}}}{t_{\text{henger}}}=\sqrt[]{\frac{a_{\text{henger}}}{a_{\text{szőnyeg}}}}=\sqrt[]{2}\mathrm{.}}\end{array}$