Feladat:	4296. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Kaprinai Balázs ,  Soltész Katalin
Füzet:	2011/március, 179 - 181. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Hajítások
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2010/december: 4296. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   I. megoldás. A feladat leírása alapján nem egyértelmű, hogy a vízszinteshez képest ${30}^{\circ }$-os szögben felfelé, vagy ugyanekkora szögben lefelé hajítjuk-e el a kavicsot (lásd az ábrát). Mindkét röppálya parabola lesz, a sebesség vízszintes összetevője (ha a közegellenállástól eltekintünk) nem változik, a függőleges összetevő pedig $g$ gyorsulással időben egyenletesen változik.     A két eset nem különbözik lényegesen egymástól, hiszen az $A$ pontból ,,felfelé'' indított kavics a $B$ pontban ismét eléri a kezdeti $h$ magasságot, és ettől kezdve ugyanolyan pályán fog mozogni, mint az eredetileg ,,lefelé'' dobott kavics. A továbbiakban a lefelé indított kaviccsal foglalkozunk. Jelöljük a keresett kezdősebességet $v_0$-lal, a kezdősebesség vízszintes komponensét $v_1$-gyel, a függőleges összetevőt pedig $v_2$-vel! Mivel ${30}^{\circ }$-os szögben dobjuk el a kavicsot, $v_0$, $v_1$ és $v_2$ egy szabályos háromszög ,,felét'' határozzák meg, s ebből (a Pitagorasz-tétel alkalmazásával) következik: $\begin{array}{c}{\displaystyle v_2=\frac{1}{\sqrt[]{3}}{v}_1\text{és}{v}_0=\frac{2}{\sqrt[]{3}}{v}_1\mathrm{.}}\end{array}$ (1) A sebesség vízszintes összetevője a mozgás során nem változik, tehát a becsapódás $C$ (illetve a másik értelmezésnél a $C\text{'}$) pontjában is $v_1$ nagyságú lesz, és a ${45}^{\circ }$-os becsapódási szög miatt ugyanekkora kell legyen a függőleges sebességkomponens is a földetéréskor. A mozgás ideje a sebesség függőleges összetevőjének változási üteméből olvasható le: $\begin{array}{c}{\displaystyle v_2+gt=v_1\mathrm{,}}\end{array}$ ahonnan (1) felhasználásával: $\begin{array}{c}{\displaystyle t=\frac{v_1-v_2}{g}=\left(1-\frac{1}{\sqrt[]{3}}\right)\frac{v_1}{g}\mathrm{.}}\end{array}$ A kavics függőleges elmozdulása (egyenletesen gyorsuló mozgás miatt) az átlagsebességből (a kezdeti- és a végsebesség számtani közepéből) számítható: $\begin{array}{c}{\displaystyle h=\frac{v_2+v_1}{2}t=\left(1+\frac{1}{\sqrt[]{3}}\right)\left(1-\frac{1}{\sqrt[]{3}}\right)\frac{v_1^2}{2g}=\frac{v_1^2}{3g}\mathrm{,}}\end{array}$ vagyis $\begin{array}{c}{\displaystyle v_1=\sqrt[]{3gh}}\end{array}$ és (1) alapján a kavics keresett kezdősebessége: $\begin{array}{c}{\displaystyle v_0=\sqrt[]{4gh}\mathrm{.}}\end{array}$     II. megoldás. A ${45}^{\circ }$-os szögben becsapódó kavics sebességének vízszintes és függőleges összetevője (az I. megoldás jelöléseit használva) $\begin{array}{c}{\displaystyle v_1=v_0\text{cos}\alpha \mathrm{,}}\end{array}$ (2) ahol $\alpha =\pm {30}^{\circ }$, a hajítási szög kétféle értelmezésének megfelelően. (Kihasználtuk, hogy a vízszintes sebességkomponens a mozgás során nem változik.) A mechanikai energia megmaradási törvénye szerint $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1}{2}m{v}_0^2+mgh=\frac{1}{2}m\left(v_1^2+v_1^2\right)\mathrm{,}}\end{array}$ innen (2) felhasználásával a kezdősebességre ($\alpha$ előjelétől függetlenül, tehát az elhajítás irányának mindkét értelmezése esetén) $\begin{array}{c}{\displaystyle v_0=\sqrt[]{\frac{2}{2\text{cos}{}^2\alpha -1}gh}=\sqrt[]{4gh}}\end{array}$ adódik.