Feladat: 4294. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Bolgár Dániel ,  Jéhn Zoltán ,  Nagy Lajos ,  Nagy Lajos ,  Szabó Attila 
Füzet: 2011/március, 177 - 178. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Feladat, Nyugalmi indukció, Egyéb (tömegpont mozgásegyenletével kapcsolatos), Egyéb impulzusnyomaték
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2010/november: 4294. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

 
Megoldás. Ismert, hogy 2r átmérőjéhez képest nagyon nagy  hosszúságú és sűrűn tekercselt n menetes szolenoid mágneses indukciója a tekercsen kívül nulla, azon belül a tekercs tengelyével párhuzamos és a pillanatnyi értéke
B(t)=μ0nI(t).

Megjegyzés. A szolenoidon kívül megjelenő nagyon gyenge mágneses mezőt ‐ amely egyrészt a szolenoid végeinél és a menetek között ,,kiszóródó'' erővonalakból, másrészt a szolenoid, mint hosszú egyenes vezető körüli mágneses indukcióból adódik ‐ a további megfontolásainkban elhanyagoljuk.
 

Az időben változó áramerősség változó mágneses indukciót, változó mágneses fluxust, az pedig örvénylő elektromos mezőt hoz létre. Az elektromos mező a tekercs szimmetriája miatt nyilvánvalóan hengerszimmetrikus, s mivel a rendszerben nyugvó töltés nincs, így az elektromos mező forrásmentes, emiatt az elektromos térerősség érintőirányú kell legyen.
A P pont körüli R sugarú körre felírva az indukciótörvényt:
E(R)2Rπ=-ΔΦΔt=-r2πΔBΔt=-r2πμ0nΔIΔt,
ahonnan az elektromos térerősség
E(R)=-r2μ0n21RΔIΔt.

A ponttöltésre ható erő nagysága:
F=EQ=-r2μ0nQ21RΔIΔt,
és ennek az erőnek a P pontra vonatkozó forgatónyomatéka:
M=FR=-r2μ0nQ2ΔIΔt.
Felhasználva a perdülettételt:
ΔNΔt=-r2μ0nQ2ΔIΔt,
vagyis a tekercsben folyó áram kicsiny ΔI megváltozása és a mozgó (töltött) test perdületének ΔN változása arányos egymással:
ΔN=-r2μ0nQ2ΔI.

Összegezzük a perdület és az áramerősség kicsiny változásait, és vegyük figyelembe, hogy t=0-kor N és I is nulla:
N(t)=ΔN=-r2μ0nQ2ΔI=-r2μ0nQ2I(t).

A folyamat végére az áramerősség nullára csökken, ekkor tehát a részecske perdülete is nulla kell legyen. Eszerint a folyamat végén a részecske vagy a P felé, vagy azzal ellentétes irányba fog mozogni, esetleg éppen a P pontban áll. Belátjuk, hogy ezen három lehetőség közül ténylegesen a második valósul meg.
A részecskére nem hat sugárirányú erő (hiszen a szolenoidon kívül nincs számottevő mágneses mező, az elektromos mező pedig mindenhol érintő irányú). Emiatt a részecske sugár irányú (radiális) vr sebességének egységnyi időre eső megváltozása és a centripetális gyorsulás előjeles összege nulla kell legyen:
ΔvrΔt-vt2R=0,
ahol vt a test érintőirányú (tangenciális) sebessége, R pedig a P ponttól mért pillanatnyi távolsága. A fenti egyenletből leolvasható, hogy Δvr0, tehát a kezdetben álló részecske egyre nagyobb sebességgel fog távolodni a P ponttól, vagyis a sebességvektora a folyamat végén (nullára csökkentett áramerősségnél) P irányával 180-os szöget zár be.
 

Megjegyzés. A megoldás során sehol nem használtuk ki, hogy az áramerősség időben egyenletesen, vagy esetleg másképp változik. Tetszőleges áramerősség‐idő függvény esetén igaz, hogy nulla áramerősségnél a test sebessége a P pont irányával 180-os szöget zár be.