Kezdőlap


Feladat:	306. fizika mérési feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Barta Szilveszter Marcell , Janosov Milán , Márta Zsolt , Szabó Attila
Füzet:	2011/február, 117 - 119. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Mérési feladat, Elektromos mérés, Mechanikai mérés
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2010/május: 306. fizika mérési feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. A mérésnél felhasznált eszközök:
‐ kétkarú mérleg,
‐ 2 db rúdmágnes,
‐ rugós erőmérő (2,5 N és 0,25 N méréshatárral),
‐ vizet tartalmazó edény,
‐ cérna,
‐ vonalzó.
A mérés előkészítése. A mérlegre pálcával felerősítettem az egyik rúdmágnest, a másik oldalára pedig cérnával az edényt. Ebbe annyi vizet töltöttem, hogy a mérleg kiegyensúlyozott legyen. Ezután az asztal szélére felakasztottam a másik rúdmágnest, úgy, hogy magassága szabályozható legyen, és a két mágnes vonzza egymást. A mérleg másik karjához rögzítettem a rugós erőmérőt (1. ábra).

1. ábra

A mérés menete. A két mágnes ‐ vízszintes mérlegállás esetén ‐ egy egyenesbe esik, és vonzzák egymást. A két mágnes közti távolságot az alsó mágnes helyzetének változtatásával állítottam be, majd ezután az erőmérővel a mérleg karját vízszintes helyzetbe hoztam. A forgatnyómatékok egyenlőségéből adódóan a rugós erőmérő éppen a két mágnes közi

F

vonzóerőt méri. Ezt jegyeztem fel a két mágnes középpontjának

r

távolsága függvényében.
A mérési adatok. A mért adatokat az 1. táblázat tartalmazza.

\begin{matrix} r[cm] & F[N] & r[cm] & F[N] \\ 13 & 1,01 & 22 & 0,021 \\ 14 & 0,43 & 23 & 0,017 \\ 15 & 0,229 & 24 & 0,014 \\ 16 & 0,140 & 25 & 0,010 \\ 17 & 0,094 & 26 & 0,009 \\ 18 & 0,064 & 27 & 0,007 \\ 19 & 0,046 & 28 & 0,007 \\ 20 & 0,034 & 29 & 0,006 \\ 21 & 0,027 \end{matrix}

1. táblázat

A mérés kiértékelése. 1. Elméleti megfontolások. A vizsgálatnál a következő egyszerű modellt használjuk: a rúdmágnes

m

dipólusnyomatéka két, egymástól

2 d

távolságra levő

p

póluserősségű hipotetikus ,,mágneses pólusból'' áll, ebből

m = 2 p d

. A Coulomb-törvény mintájára a két mágneses pólus között ható erő

\begin{matrix} F = \frac{μ_{0}}{4 π} \frac{p_{1} p_{2}}{r^{2}} \end{matrix}

alakban adható meg.
Az erő számítását két egyforma mágnes esetére végeztem el, ha a középpontjuk

r

távolságra helyezkedik el egymástól (2. ábra).

2. ábra

Az egymást vonzó pólusok egymástól

r - 2 d

és

r + 2 d

, az egymást vonzóak

r

távolságra helyezkednek el. Ebből adódóan az eredő vonzóerő:

\begin{matrix} F & = \frac{μ_{0}}{4 π} p^{2} (\frac{1}{{(r + 2 d)}^{2}} + \frac{1}{{(r - 2 d)}^{2}} - \frac{2}{r^{2}}) = \frac{μ_{0} p^{2}}{4 π} \cdot \frac{24 d^{2} r^{2} - 32 d^{4}}{r^{2} {(r^{2} - 4 d^{2})}^{2}} = \\ = \frac{μ_{0} m}{4 π} \cdot \frac{6 r^{2} - 8 d^{2}}{r^{2} {(r^{2} - 4 d^{2})}^{2}} . \end{matrix}

A vonzóerő kifejezésében

d

-hez képest nagy

r

távolságban

d

elhanyagolható, így adódik, hogy

\begin{matrix} F \sim \frac{1}{r^{4}} . \end{matrix}

Mérésünkben azonban

d

összemérhető

r

-rel, így a kifejezés ezen tagjai nem hanyagolhatók el.
2. Görbe illesztése a mérési adatokhoz. A mérési adatokat a Graph program segítségével ábrázoltam, majd megpróbáltam a fenti összefüggés szerint görbét illeszteni rá (3. ábra).

3. ábra

Ez nem sikerült a programnak, így további mérésekkel határoztam meg

d

értékét. Egy kisméretű mágnesdarabkát helyeztem a rúdmágnes közelébe egy cérnaszálra erősítve. A mágnes a (környezetéhez képest) legerősebb vonzóerő irányába áll be, ilyen helyet kettőt is találtam: a mágnes közepétől

(5, 5 \pm 0, 2)

cm távolságban. Ezeket tekinthetjük a mágnes pólusainak, így

d = (5, 5 \pm 0, 2)

cm. Ezt az adatot beírva az

F (r)

függvény paraméteres kifejezésébe, a görbe illesztése megoldhatóvá vált. A görbe szinte pontosan illeszkedik a mérési pontokra, és az ismeretlen paraméterre

\begin{matrix} \frac{μ_{0} m^{2}}{4 π} = 5, 088 \cdot 10^{- 6} {VAsm}^{3}, \end{matrix}

ebből a rúdmágnesek mágneses nyomatékára

m = 7, 13 {Am}^{2}

adódott.

Hibaszámítás. A távolságmérés hibája kb. 0,1 cm, ez megjelenik a grafikonon. Az erőmérés hibája a kétkarú mérleg és a rugós erőmérő leolvasási pontatlanságából eredhet. Az előbbi hibaforrás elhanyagolható, a mérleg igen pontos. Az erőmérő rögzítéséhez a fából készült mérlegkarba egy kisméretű szöget vertem be; a mérés elvégzése után az eszközök eltávolítása után a kezdetben kiegyensúlyozott mérleg ‐ minden bizonnyal a szög hatására ‐ kibillent, ez a szög kihúzása után megszűnt. Az erőmérő leolvasási pontossága a 2,5 N-os erőmérő esetén kb. 0,02 N, a 0,25 N-os esetén 0,002 N. Ezt a hibát is jelöltem a grafikonon. A görbe a megjelölt mérési adatpontokra szinte teljes pontossággal illeszkedik, ez a

d

távolság 0,2 cm-nek becsült hibáját csökkenti.

m

relatív hibája kb. 0,5%, abszolút hibája kb. 0,03 Am

^{2}