Kezdőlap


Feladat:	4290. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Gnädig Péter , Szabó Attila
Füzet:	2011/február, 115 - 117. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Hooke-törvény
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2010/november: 4290. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Legyen a két kifeszítési pont távolsága $A B = ℓ$ , az $N$ pont kezdeti lesüllyedése $N N' = d$ (1. ábra). Mivel

\begin{matrix} N B = \frac{3}{4} ℓ, H B = \frac{2}{3} ℓ, \end{matrix}

N

pont lesüllyedése:

\begin{matrix} d = \frac{N B}{H B} h = \frac{9}{8} h = 11, 25 cm. \end{matrix}

1. ábra

A kötéltáncosra ható erők eredőjének (egyensúlyi állapotban) nullának kell lennie. A vízszintes erőkomponensek, mivel a lesüllyedés elhanyagolhatóan kicsi a kötél hosszához képest, jó közelítéssel egyenlőek a kötelet feszítő

F

erővel, így egymással is. A továbbiakban csak a függőleges erőket vizsgáljuk.

2. ábra

A kötéltáncosra ható

G

nehézségi erő a kötél két része által kifejtett függőleges erőkomponens összegével egyenlő. Az első esetben (az 1. ábrán látható hasonló derékszögű háromszögekből)

\begin{matrix} F \frac{d}{(\frac{ℓ}{4})} és F \frac{d}{(\frac{3 ℓ}{4})}; \end{matrix}

a 2. ábrán látható második esetben pedig

\begin{matrix} F \frac{d'}{(\frac{ℓ}{3})} és F \frac{d'}{(\frac{2 ℓ}{3})} . \end{matrix}

Az erők összege mindkét esetben a test súlyával, tehát egymással is egyenlő:

\begin{matrix} F \frac{4 d}{ℓ} + F \frac{4 d}{3 ℓ} & = F \frac{3 d'}{ℓ} + F \frac{3 d'}{2 ℓ}, \\ 4 d + \frac{4}{3} d & = 3 d' + \frac{3}{2} d', \\ \frac{16}{3} d & = \frac{9}{2} d', \end{matrix}

vagyis a

H

pont lesüllyedése

\begin{matrix} d' = \frac{32}{27} d = \frac{4}{3} h = \frac{40}{3} cm. \end{matrix}

N

pont lesüllyedése nyilvánvalóan

\frac{3}{4}

része

d'

-nek, azaz

\begin{matrix} h' = \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3} h = h = 10 cm. \end{matrix}

H

pontban ható terhelés hatására tehát az

N

pont lesüllyedése ugyanakkora, mint amekkora a

H

pont lesüllyedése volt az

N

pontban ható (ugyanakkora) terhelés esetében.

Megjegyzés. A feladat végeredményében megmutatkozó szimmetria nem függ a

H

és

N

pontok helyzetétől, hanem általánosan igaz. Ha

A N = x ℓ

és

A H = y ℓ

, akkor a megoldásban szereplő egyenletek az alábbiak szerint módosulnak. Hasonló háromszögekből adódóan

\begin{matrix} d = \frac{1 - x}{1 - y} h, \end{matrix}

az erőegyensúly feltétele

\begin{matrix} F \frac{d}{ℓ} (\frac{1}{x} + \frac{1}{1 - x}) = F \frac{d'}{ℓ} (\frac{1}{y} + \frac{1}{1 - y}), azaz d' = \frac{y (1 - y)}{x (1 - x)} d = \frac{y}{x} h, \end{matrix}

és végül (ismét hasonló háromszögekből):

h' = \frac{x}{y} d' = h