A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Az 1. ábrán látható koordináta-rendszerben minden pillanatban teljesül a fonál nyújthatatlanságát kifejező kényszerfeltétel.
1. ábra Kicsiny idő elteltével is fennáll ugyanez, tehát | | (2) | ( és az egyes testek sebessége az ábrán látható irányítással.) A -ben másodfokú (másodrendűen kicsi) tagokat elhagyva a fenti két egyenletből adódik.
Megjegyzés. Ugyanezt az összefüggést úgy is megkaphatjuk, hogy felírjuk a testek sebességének fonál irányú vetületét, és kihasználjuk, hogy ezek nagysága ‐ a fonál hosszának állandósága miatt ‐ ugyanakkora kell legyen: Most meghatározzuk a sebességeket az koordináta függvényében. Szorítkozzunk először a rendszer mozgásának azon részére, amikor , és . A munkatételből következik, hogy Ebből (1) és (3) felhasználásával vagyis adódik. Látható, hogy monoton növekvő függvénye, így maximuma legnagyobb, értékéhez kötődik. Ekkor . Fejezzük ki -t (1) felhasználásával csak , vagy a dimenziótlan függvényeként: | | Ez a sebesség akkor a legnagyobb, amikor az kifejezés értéke maximális. Differenciálszámítással, vagy a kifejezés numerikus kiszámításával és grafikus ábrázolással megkaphatjuk, hogy a szélsőérték értékhez tartozik, és ekkor Ekkora sebességekre gyorsulnak fel az egyes testek a nehézségi erő hatására. A mozgás további szakaszában a vízszintesen mozgó test átlendül az origón, majd fokozatosan lassulva az helyzetben egy pillanatra megáll; ezután a mozgása folytatódik ,,visszafelé''. Mivel a testek sebességének nagysága egyértelműen meghatározható a helyzetük függvényében, így a mozgás periodikusan ismétlődő (anharmonikus) rezgőmozgás. A vízszintesen mozgó test periódusideje kétszer nagyobb, mint a függőlegesen mozgó testé.
II. megoldás. Vegyük észre, hogy a 2. ábrán látható pont a mozgás során mindvégig távolságra van az origótól, ezért egy sugarú köríven mozog.
2. ábra E pont sebességének irányú komponense (ha az előjelét ,,balra'' tekintjük pozitívnak) a felső test mindenkori sebességével, irányú komponense pedig az alsó test sebességével egyezik meg. A mechanikai energia megmaradását kifejező egyenlet ezért átírható alakba, amely azt fejezi ki, hogy a pont éppen úgy mozog, ahogy egy hosszúságú, vízszintesen kitérített fonálinga mozog a nehézségi erő hatására. A feladatnak arra a kérdésére, hogy hogyan mozognak a testek már most válaszolhatunk: a felső test úgy mozog, ahogy ennek az ingának a földön keletkező árnyéka mozog függőlegesen lefelé irányuló megvilágítás esetén; az alsó test pedig úgy, ahogy az oldalról megvilágított inga árnyéka mozog egy függőleges falon. Ebből következik, hogy a felső test sebessége akkor lesz legnagyobb, amikor éppen áthalad az origón, ekkor ugyanis nagysága maximális, iránya pedig vízszintes. A (4) egyenletből leolvasható, hogy ez a sebesség Az alsó test sebessége előbb növekszik, majd csökken. A sebesség legnagyobb értékét akkor éri el, amikor az inga gyorsulásának függőleges komponense nullává válik. Ez a gyorsuláskomponens az inga érintő irányú (tangenciális) és fonál irányú (centripetális) gyorsulásának megfelelő vetületeiből számítható ki: Az inga érintő irányú gyorsulásának nagysága egy szöggel jellemezhető helyzetben (a mozgásegyenlet szerint) a centripetális gyorsulása pedig (az energiamegmaradás tételéből számíthatóan) Ezeket (5)-be helyettesítve kapjuk, hogy az alsó test azon szöggel jellemzett helyzetben mozog leggyorsabban, amikor teljesül, vagyis Az alsó test sebessége ebben a helyzetben: | |
|