Kezdőlap


Feladat:	4227. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Alcer Dávid , Ercsey Tamás
Füzet:	2011/február, 105 - 106. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Newton-féle gravitációs erő
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2010/február: 4227. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. A $P$ pontban levő meteorit és a bolygó $O_{1}$ középpontjának $d$ távolsága éppen kétszerese az üreg $O_{2}$ középpontja és az $O_{1}$ pont $a$ távolságnak, az 1. ábrán látható $O_{1} O_{2} P$ háromszög (a megadott adatok esetén) derékszögű, és az egyik szöge $β = 30^{\circ}$ .

1. ábra

Ha a képzeletbeli bolygó üregét is

ϱ = 5000 {kg/m}^{3}

sűrűségű anyag töltené ki, a bolygó tömege

\begin{matrix} m_{1} = \frac{4 π}{3} r_{1}^{3} ϱ = 2, 62 \cdot 10^{24} kg \end{matrix}

lenne. Egy ekkora tömegű bolygó a tőle

d

távolságra levő

m

tömegű meteoritra

\begin{matrix} F_{1} = γ \frac{m_{1}}{d^{2}} \cdot m = 6, 67 \cdot 10^{- 11} \frac{Nm^{2}}{kg^{2}} \cdot \frac{2, 62 \cdot 10^{24} kg}{{(6 \cdot 10^{6} m)}^{2}} \cdot m = 4, 85 \frac{N}{kg} \cdot m \end{matrix}

nagyságú,

\vec{P O_{1}}

irányú gravitációs vonzóerőt fejtene ki.
Ez az

F_{1}

erő az üreges bolygó által kifejtett

F

erő és az üreget kitöltő anyagmennyiség által létrehozott

F_{2}

erő vektori összege (2. ábra):

\begin{matrix} F_{1} = F + F_{2}, \end{matrix}

vagyis a keresett gyorsulás (a meteorit 1 kg-nyi anyagára ható gravitációs erő):

\begin{matrix} F = F_{1} - F_{2} . \end{matrix}

2. ábra

Megjegyzés. A fenti egyenlet úgy is értelmezhető, hogy az üreges bolygó gravitációs tere a tömör bolygó gravitációs vonzóerejének és az üreg (anyaghiány)

- F_{2}

(taszító!) gravitációs erejének vektori összege.

Az üreg kitöltéséhez szükséges anyag tömege:

\begin{matrix} m_{2} = \frac{4 π}{3} r_{2}^{3} ϱ = 2, 09 \cdot 10^{22} kg, \end{matrix}

ez a középpontjától

b = \sqrt[]{d^{2} - a^{2}} = 5, 2 \cdot 10^{6} m

távolságra levő

P

pontban található

m

tömegű meteoritra

\begin{matrix} F_{2} = γ \frac{m_{2}}{b^{2}} \cdot m = 0, 06 \frac{N}{kg} \cdot m \end{matrix}

nagyságú,

\vec{P O_{2}}

irányú gravitációs vonzóerőt fejtene ki (2. ábra).

F_{1}

és

F_{2}

különbségének nagysága a koszinusz-tétel segítségével számítható:

\begin{matrix} F = \sqrt[]{F_{1}^{2} + F_{1}^{2} - 2 F_{1} F_{1} cos 30^{\circ}} = 4, 80 \frac{N}{kg} \cdot m . \end{matrix}

A keresett gyorsulás nagysága tehát

\begin{matrix} g = \frac{F}{m} = 4, 80 \frac{m}{s^{2}}, \end{matrix}

iránya pedig ‐ mint az a (nem méretarányos!) 2. ábrán is látható ‐ nem a bolygó geometriai középpontjába mutat, attól kicsit eltér az üreggel ellentétes oldal felé.