Kezdőlap


Feladat:	4283. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Broda Balázs , Szabó Attila
Füzet:	2011/január, 55 - 56. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Egyéb magreakciók
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2010/október: 4283. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Számoljuk ki először a

\begin{matrix} ^{2} H +^{3} H \to^{4} He + n \end{matrix}

magreakcióban felszabaduló energiát! A magtömegek és az

E = Δ m c^{2}

összefüggés ismeretében kiszámíthatók (vagy táblázati adatok között megtalálhatók) a kötési energiák:

\begin{matrix} E_{köt} (^{2} H) = 2, 224 MeV, E_{köt} (^{3} H) = 8, 481 MeV, E_{köt} (^{4} He) = 28, 297 MeV . \end{matrix}

Az energiamegmaradás törvénye szerint

\begin{matrix} E_{köt} (^{4} He) - E_{köt} (^{2} H) - E_{köt} (^{3} H) = \frac{1}{2} m_{He} v_{He}^{2} + \frac{1}{2} m_{n} v_{n}^{2} . \end{matrix}

(1)

(Feltételezzük, hogy a reakciótermékek sebessége a fénysebességhez képest kicsiny, ezért a nemreletivisztikus mechanika törvényei alkalmazhatók.) Teljesül még a lendületmegmaradás törvénye is:

\begin{matrix} m_{He} v_{He} = m_{n} v_{n} . \end{matrix}

(2)

A hélium mag sebességét (2)-ből kifejezve és (1)-be helyettesítve kapjuk, hogy a gyors neutronok mozgási energiája:

\begin{matrix} E_{n} & = \frac{1}{2} m_{n} v_{n}^{2} = \\ = \frac{E_{köt} (^{4} He) - E_{köt} (^{2} H) - E_{köt} (^{3} H)}{1 + \frac{m_{n}}{m_{He}}} = \frac{17, 592 MeV}{1, 25} \approx 14, 0 MeV . & (3) \end{matrix}

Megjegyzés. A mozgási energiából a neutronok sebességét is kiszámolhatjuk, és láthatjuk, hogy az a fénysebességnek csak kb. 1/6 része; ezért elfogadható (néhány százalék pontossággal jó) közelítés a klasszikus fizika képleteinek alkalmazása.

II. megoldás. Számoljunk relativisztikusan! A nyugalmi tömegeket

m

-mel, az impulzusokat

p

-vel és a részecskéket a nevük kezdőbetűinek megfelelő indexszel fogjuk jelölni.
A lendületmegmaradás törvényéből adódóan (a deuteron lendületét elhanyagolva):

\begin{matrix} p_{He} = p_{n} = p . \end{matrix}

(A két lendület iránya ellentétes).
Alkalmazzuk a

μ = p / c

jelölést (

c

a fénysebesség vákuumban). Az energiamegmaradás törvénye ebben a reakcióban (a relativisztikus energia-impulzus összefüggés felhasználásával):

\begin{matrix} m_{D} c^{2} + m_{T} c^{2} = \sqrt[]{{(m_{He} c^{2})}^{2} + {(μ c^{2})}^{2}} + \sqrt[]{{(m_{n} c^{2})}^{2} + {(μ c^{2})}^{2}}, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} \sqrt[]{m_{He}^{2} + μ^{2}} + \sqrt[]{m_{n}^{2} + μ^{2}} = m_{D} + m_{T} . \end{matrix}

(4)

Szorozva

\sqrt[]{m_{He}^{2} + μ^{2}} - \sqrt[]{m_{n}^{2} + μ^{2}}

-tel:

\begin{matrix} (m_{D} + m_{T}) (\sqrt[]{m_{He}^{2} + μ^{2}} - \sqrt[]{m_{n}^{2} + μ^{2}}) & = m_{He}^{2} - m_{n}^{2}, \\ \sqrt[]{m_{He}^{2} + μ^{2}} - \sqrt[]{m_{n}^{2} + μ^{2}} & = \frac{m_{He}^{2} - m_{n}^{2}}{m_{D} + m_{T}} . & (5) \end{matrix}

A (4) egyenletből kivonva (5)-öt és osztva 2-vel:

\begin{matrix} \sqrt[]{m_{n}^{2} + μ^{2}} = \frac{1}{2} (m_{D} + m_{T} - \frac{m_{He}^{2} - m_{n}^{2}}{m_{D} + m_{T}}) = \frac{1}{2} \frac{{(m_{D} + m_{T})}^{2} - m_{He}^{2} + m_{n}^{2}}{m_{D} + m_{T}} . \end{matrix}

A neutron mozgási energiája tehát

\begin{matrix} E_{n}^{mozg.} & = (\sqrt[]{m_{n}^{2} + μ^{2}} - m_{n}) c^{2} = \\ = \frac{{(m_{D} + m_{T})}^{2} - m_{He}^{2} + m_{n}^{2} - 2 m_{n} (m_{D} + m_{T})}{2 (m_{D} + m_{T})} c^{2} = \\ = \frac{{(m_{D} + m_{T} - m_{n})}^{2} - m_{He}^{2}}{2 (m_{D} + m_{T})} c^{2} \approx 2, 18 pJ = 13, 6 MeV . \end{matrix}