Kezdőlap


Feladat:	4276. fizika feladat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Park Choong Eun
Füzet:	2011/január, 53 - 54. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Erőrendszer eredője
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2010/október: 4276. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Legyen a létra hossza $ℓ$ , a talajjal bezárt szöge pedig $α$ . Vizsgáljuk meg, melyik az a ,,kritikus'' $α_{0}$ szög, aminél kisebb $α$ esetén a létra már nem maradhatna egyensúlyban.

A sima fal által kifejtett erő merőleges a falra, és a nagysága (egyensúly esetén) megegyezik a talajnál fellépő

S

súrlódási erővel; a talaj által függőlegesen felfelé kifejtett nyomóerő pedig az ember és a létra súlyának összegével egyenlő:

\begin{matrix} F = S, illetve N = m g + G . \end{matrix}

A súrlódási erő legnagyobb értékét a nyomóerő és a tapadó súrlódási együttható határozza meg:

\begin{matrix} S \leq S_{{max}_{}^{}} = μ_{0} N = μ_{0} (m g + G) . \end{matrix}

Egyensúlyban a létrára ható erők eredő forgatónyomatéka is nulla. Feltételezzük, hogy a létra homogén tömegeloszlású, és emiatt a közepén található a tömegközéppontja. Az ember ‐ a létra elcsúszásának szempontjából ‐ akkor van legveszélyesebb helyzetben, amikor fent van a létra tetején. Ebben a helyzetben a forgatónyomatékok egyensúlyának feltétele (amely bármely pontra, így pl. a létra legalsó pontjára vonatkoztatva is fennáll):

\begin{matrix} m g ℓ cos α + G \frac{ℓ}{2} cos α = F ℓ sin α, \end{matrix}

ahonnan

F = S

felhasználásával

\begin{matrix} (m g + \frac{1}{2} G) \frac{cos α}{sin α} = S \leq μ_{0} (m g + G), \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} tg α \geq \frac{m g + \frac{1}{2} G}{μ_{0} (m g + G)} \end{matrix}

adódik. Ezek szerint egy

m

tömegű ember akkor tud biztonságban felmenni a

G

súlyú létra tetejére, ha a létra legalább

\begin{matrix} α_{0} = arctg \frac{m g + \frac{1}{2} G}{μ_{0} (m g + G)} \end{matrix}

szöget zár be a vízszintes talajjal.

Megjegyzés. Ha a létra súlypontja a létra tetejére esne, akkor a kritikus szög

arctg \frac{1}{μ_{0}}

, ha pedig a legaljára, akkor

arctg \frac{m g}{μ_{0} (m g + G)}

nagyságú lenne. Bármilyen tömegeloszlású létránál

α_{0}

ezen hajlásszög-értékek közé esik.