Kezdőlap


Feladat:	4271. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Kóbor Attila , Nagy Lajos
Füzet:	2011/január, 49 - 50. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Áramvezetőre ható erő
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2010/szeptember: 4271. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. A mágneses térben $v$ sebességgel mozgó rúdban $U_{ind} = B ℓ v$ nagyságú feszültség indukálódik, ez csökkenti a külső feszültséget. A rúdban folyó áram az Ohm-törvény szerint:

\begin{matrix} I = \frac{U_{0} - B ℓ v}{R} . \end{matrix}

Ekkora áram esetén a mágneses tér

\begin{matrix} F_{Lorentz} = B I ℓ = \frac{U_{0} B ℓ - B^{2} ℓ^{2} v}{R} \end{matrix}

erőt fejt ki a rúdra. A mozgásegyenlet (a súrlódást is figyelembe véve):

\begin{matrix} m a = F_{Lorentz} - μ m g, \end{matrix}

vagyis a rúd gyorsulása:

\begin{matrix} a (v) = (\frac{U_{0} B ℓ}{m R} - μ g) - \frac{B^{2} ℓ^{2} v}{m R} . \end{matrix}

(1)

a)

Közvetlenül a kapcsoló zárása után a rúd sebessége még nulla, ekkor a gyorsulása (1)-ből:

\begin{matrix} a (v = 0) = \frac{U_{0} B ℓ}{m R} - μ g \approx 3, 0 \frac{m}{s^{2}} . \end{matrix}

b)

A sebesség növekedtével a rúd gyorsulása egyre csökken, és valamekkora határsebességnél a gyorsulás nullához tart. Az

a (v = v_{{max}_{}^{}}) = 0

feltételből az állandósult sebesség kiszámítható:

\begin{matrix} v_{{max}_{}^{}} = \frac{U_{0}}{B ℓ} - \frac{μ m g R}{B^{2} ℓ^{2}} \approx 120 \frac{m}{s} . \end{matrix}

c)

Mennyi idő alatt nő a rúd sebessége

v_{1} = 4, 2 \frac{m}{s}

-ról

v_{2} = 4, 1 \frac{m}{s}

-ra? Ez a két sebesség alig különbözik egymástól, tehát a mozgás ezen szakaszán a gyorsulás csak nagyon kicsit változik. Számoljunk úgy, mintha a gyorsulás állandó, a

\begin{matrix} v_{átlag} = \frac{v_{1} + v_{2}}{2} \end{matrix}

átlagsebességnek megfelelő

\begin{matrix} a_{átlag} = (\frac{U_{0} B ℓ}{m R} - μ g) - \frac{B^{2} ℓ^{2}}{m R} \cdot \frac{v_{1} + v_{2}}{2} \approx 2, 9 \frac{m}{s^{2}} \end{matrix}

lenne. Ekkora (egyenletes) gyorsulás mellett a rúd sebessége

\begin{matrix} Δ t = \frac{v_{2} - v_{1}}{a_{átlag}} \approx 0, 034 s \end{matrix}

idő alatt növekszik

v_{1}

-ről

v_{2}

-re, s eközben a rúd

s = v_{átlag} \cdot Δ t \approx 14 cm

utat tesz meg.

Megjegyzés. Differenciálszámítás segítségével megmutatható, hogy az

\begin{matrix} a = \frac{d v (t)}{d t} = a_{0} - \frac{1}{t_{0}} v (t) \end{matrix}

alakban is felírható (1) mozgásegyenlet megoldása

v (0) = 0

kezdőfeltétel esetén

\begin{matrix} v (t) = a_{0} t_{0} (1 - e^{- t / t_{0}}) . \end{matrix}

Ebből kiszámítható a kérdéses sebességváltozáshoz szükséges idő, illetve (integrálszámítással) az eközben megtett út is. A számított (elvben ,,pontos'') értékek 2 tizedesjegy pontossággal megegyeznek a közelítő számítás eredményével.