Kezdőlap


Feladat:	4263. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Szabó Attila
Füzet:	2011/január, 47 - 48. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Egyéb időben változó mágneses mező
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2010/május: 4263. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Az Ampre-féle gerjesztési törvény szerint egy hosszú, egyenes vezetőben folyó áram keltette mágneses indukció a vezetőtől $r$ távolságra:

\begin{matrix} B_{1} = \frac{μ_{0}}{2 π} \frac{I}{r} . \end{matrix}

A Biot‐Savart-törvény alapján azt is tudjuk, hogy egy

r

sugarú körvezetőben folyó áram a kör középpontjában

\begin{matrix} B_{2} = \frac{μ_{0}}{2} \frac{I}{r} \end{matrix}

mágneses indukciót hoz létre, ami (megegyező áramerősségek esetén) az előző

B_{1}

indukció

π

-szerese.
Ezzel analóg módon (az indukciótörvény és a gerjesztési törvény hasonló alakja miatt) állíthatjuk, hogy egy vékony,

r

középkör-sugarú körtekercs mágneses fluxusváltozása éppen

π

-szer akkora elektromos térerősséget hoz létre a kör középpontjában, mint amekkorát egy hosszú szolenoid változó mágneses fluxusa eredményezne a szolenoid tengelyétől

r

távolságban (ha a fluxusváltozás üteme mindkét tekercsnél ugyanakkora).
A szolenoidot körülvevő kör kerületén indukálódó elektromos térerősségre fennáll:

\begin{matrix} 2 r π E_{1} = \frac{Δ Φ}{Δ t} = A \frac{Δ B}{Δ t}, vagyis E_{1} = \frac{1}{2 r π} A \frac{Δ B}{Δ t}, \end{matrix}

ahol

A

a szolenoid keresztmetszete,

B (t)

pedig az időben változó mágneses indukció a szolenoidban.
Analógiánk szerint a toroidban folyó áram mágneses mezőjének változása

π

-szer nagyobb elektromos térerősséget hoz létre a toroid középpontjában, mint a szolenoid:

\begin{matrix} E = π E_{1} = \frac{1}{2 r} A \frac{Δ B}{Δ t} . \end{matrix}

Másrészt egy

N

menetes,

I

erősségű árammal átjárt toroid mágneses indukciója:

\begin{matrix} B = \frac{μ_{0} N I}{2 r π}, \end{matrix}

ennek időbeli változása tehát

\begin{matrix} E = \frac{μ_{0}}{4 π} \cdot \frac{N A}{r^{2}} \cdot \frac{Δ I}{Δ t} = 10^{- 7} \frac{Vs}{Am} \cdot \frac{2000 \cdot 2 \cdot 10^{- 4} m^{2}}{{(0, 5 m)}^{2}} \cdot 10 \frac{A}{s} = 1, 6 \cdot 10^{- 6} \frac{V}{m} \end{matrix}

nagyságú elektromos teret eredményez.
Egy

e

töltésű,

m

tömegű, kezdetben nyugvó részecskére ez az elekromos mező

e E

erőt fejt ki, aminek hatására a részecske

a = \frac{e E}{m}

gyorsulással indul el. A töltés- és tömegadatokat behelyettesítve az elektron gyorsulására

2, 81 \cdot 10^{5}

m/s

^{2}

, a protonéra pedig 153 m/s

^{2}

adódik.