Kezdőlap


Feladat:	4237. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Szélig Áron
Füzet:	2011/január, 46 - 47. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Forgási energia
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2010/március: 4237. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Mivel a kocka tömegközéppontja vízszintesen mozog, ezért a test helyzeti energiája a mozgás során nem változik. A csúszásmentesen gördülő test összes mechanikai energiája időben állandó, tehát a mozgási energiája is állandó kell maradjon.

A mozgási energia két tag összegeként számítható. A kocka minden pontja halad a tömegközéppont (a továbbiakban TK) sebességével, illetve forog a TK körül. Ha a pálya ,,tetőpontján''

v_{0}

a tömegközéppont sebessége és

ω_{0}

a kocka szögsebessége, a ,,mélyponton'' pedig

v_{1}

és

ω_{1}

a sebesség, illetve szögsebesség, akkor a mozgási energia állandóságát kifejező egyenlet:

\begin{matrix} \frac{1}{2} m v_{0}^{2} + \frac{1}{2} Θ ω_{0}^{2} = \frac{1}{2} m v_{1}^{2} + \frac{1}{2} Θ ω_{1}^{2}, \end{matrix}

(1)

ahol

Θ

a test (tömegközéppontra vonatkoztatott) ismert tehetetlenségi nyomatéka.
A kockának a pályával érintkező pontja nulla sebességű. Ez a kényszerfeltétel összefüggést ad a TK pillanatnyi sebessége és a pillanatnyi szögsebesség között. A ,,tetőponton''

\begin{matrix} v_{0} - \frac{a}{2} ω_{0} = 0, azaz ω_{0} = \frac{2 v_{0}}{a}, \end{matrix}

a ,,mélypontnál'' pedig

\begin{matrix} v_{1} - \frac{a \sqrt[]{2}}{2} ω_{1} = 0, tehát ω_{1} = \frac{\sqrt[]{2} v_{1}}{a} . \end{matrix}

Ezeket (és

Θ

megadott értékét) (1)-be helyettesítve:

\begin{matrix} \frac{1}{2} m v_{0}^{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6} m a^{2} \cdot \frac{4 v_{0}^{2}}{a^{2}} = \frac{1}{2} m v_{1}^{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6} m a^{2} \cdot \frac{2 v_{1}^{2}}{a^{2}}, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} v_{0}^{2} (1 + \frac{2}{3}) = v_{1}^{2} (1 + \frac{1}{3}) \end{matrix}

adódik. Innen a tömegközéppont keresett sebessége a ,,mélypontnál'':

\begin{matrix} v_{1} = \sqrt[]{\frac{5}{4}} \cdot v_{0} . \end{matrix}

Megjegyzés. Érdekes, hogy a tömegközéppont vízszintes irányú sebességének nagysága a mozgás során változik, jóllehet a nehézségi erőnek nincs vízszintes komponense. A test vízszintes irányú gyorsulását (vagy lassulását) a pályával érintkező pontnál fellépő nyomóerő és súrlódási erő vízszintes komponense okozza.