Kezdőlap


Feladat:	4233. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Béres Bertold , Bodosi Eszter , Janosov Milán , Jéhn Zoltán , Kaposvári István , Réti Dávid , Tóth Bence Barnabás , Varju Tamás
Füzet:	2011/január, 42 - 45. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Gömbtükör, Fényvisszaverődés
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2010/február: 4233. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Oldjuk meg a feladatot koordinátageometria alkalmazásával! Vegyünk fel egy koordináta-rendszert az 1. ábrán látható módon, s vizsgáljuk az $x$ tengelytől $a$ távolságban haladó $A B$ fénysugár útját! Ez a sugár az $R$ sugarú hengertükröt a $B (\sqrt[]{R^{2} - a^{2}}; a)$ pontban éri el. A fénysugár a beesési merőlegessel

\begin{matrix} α = arctg m_{O B} \end{matrix}

szöget zár be, ahol

\begin{matrix} m_{O B} = \frac{a}{\sqrt[]{R^{2} - a^{2}}} \end{matrix}

O B

egyenes meredeksége.

1. ábra

A tükörről visszavert

B C

sugár az

O B

egyenessel

α

, a beeső fénysugárral pedig

2 α

szöget zár be, a meredeksége tehát

\begin{matrix} m_{B C} = tg 2 α = \frac{2 tg α}{1 - {tg}^{2} α} = \frac{2 m_{O B}}{1 - m_{O B}^{2}} = \frac{2 a \sqrt[]{R^{2} - a^{2}}}{R^{2} - 2 a^{2}} . \end{matrix}

Ezt felhasználva felírhatjuk az ezüstözött felület

B

pontjáról visszaverődő fénysugár egyenletét:

\begin{matrix} y = \frac{2 a \sqrt[]{R^{2} - a^{2}}}{R^{2} - 2 a^{2}} (x - \sqrt[]{R^{2} - a^{2}}) + a . \end{matrix}

(1)

A továbbiakban vizsgáljuk meg az

x

tengelytől

a = h

és

a = h + d

távolságban

(d ≪ h)

haladó fénysugarak útját a tükröző felületről történő visszaverődésük után. Ha ezen sugarak metszéspontja

d

-től függetlenül mindig (pontosan, vagy legalább jó közelítéssel) ugyanazon

F

pontra esik, akkor mondhatjuk, hogy a keskeny fénynyaláb fókuszálódik az

F

pontban (2. ábra).

2. ábra

A két fénysugár egyenletét (1)-ből kaphatjuk

a = h = 4

, illetve

a = 4 + d

és

R = 6

helyettesítéssel. (A távolságokat a továbbiakban cm-ben mérjük és a mértékegységet nem írjuk ki.) Az egyik sugár egyenlete:

\begin{matrix} y = 4 \sqrt[]{5} x - 36, \end{matrix}

(2)

a másiké pedig

\begin{matrix} y = \frac{2 (4 + d) \sqrt[]{36 - {(4 + d)}^{2}}}{36 - 2 {(4 + d)}^{2}} (x - \sqrt[]{36 - {(4 + d)}^{2}}) + (4 + d) . \end{matrix}

(3)

Használjuk ki, hogy

d ≪ 1

, és hanyagoljuk el

d^{2}

-t és

d

magasabb hatványait

d

mellett! Ebben a közelítésben ‐ az 1-hez közeli számok tetszőleges (akár tört-, vagy negatív kitevős) hatványára vonatkozó

{(1 + ε)}^{n} \approx 1 + n ε

képletet is felhasználva ‐ kapjuk, hogy (3) így is írható:

\begin{matrix} y = (1 + 4 d) (4 + d) \sqrt[]{5} (1 - \frac{1}{5} d) [x - \sqrt[]{20} (1 - \frac{1}{5} d)] + d + 4. \end{matrix}

(4)

(2) és (4) jobb oldalát egyenlővé téve és az egyenletet

x

-re megoldva (

d

négyzetét és magasabb hatványait ismét elhanyagolva)

\begin{matrix} x = \frac{17}{9} \sqrt[]{5} + 0 \cdot d \approx 4, 22, illetve y = \frac{16}{9} \approx 1, 78 \end{matrix}

adódik. Ez az eredmény ‐ az adott közelítésben ‐ független

d

-től, tehát a nyaláb valóban fókuszálódik az

F (\frac{17 \sqrt[]{5}}{9}; \frac{16}{9})

pontban. (Hengertükörnél a fókuszálás csak az ábra síkjában történik, a henger szimmetriatengelyével párhuzamos irányban nem, emiatt

F

a térben egy vonalat határoz meg.)

II. megoldás. Belátható, hogy egy

R

görbületi sugarú tükröző felületre

α

szög alatt eső fénysugaraknál a leképezési törvény

\begin{matrix} \frac{1}{t} + \frac{1}{k} = \frac{2}{R cos α} \end{matrix}

alakban teljesül¹. A párhuzamosan (,,végtelen'' távolról) érkező sugarakra

\frac{1}{t} \to 0

, ilyenkor

k = f = \frac{R cos α}{2}

3. ábra

Jelen esetben (lásd a 3. ábrát)

h = 4

és

R = 6

(cm-ben mért) adatok mellett

\begin{matrix} sin α = \frac{h}{R} = \frac{4}{6}, α = 41, 8^{\circ}, f = 2, 23. \end{matrix}

F

fókuszpont koordinátái tehát:

\begin{matrix} x_{F} = R cos α - f cos 2 α = 4, 22 és y_{F} = h - f sin 2 α = 1, 78. \end{matrix}

III. megoldás. Tekintsük a 4. ábrán látható nefroid (,,vesegörbe'') nevű

n

görbét, amelyet egy bizonyos (mondjuk

R / 2

) sugarú kör külső felén csúszásmentesen gördülő, fele akkora sugarú (esetünkben

R / 4

sugarú) másik kör valamely

P

pontja ír le (4. ábra). (Ez a görbe egy olyan epiciklois, amelynél az

a

alapkör sugarának éppen fele a

g

gördülőkör sugara.) Belátjuk, hogy a párhuzamosan érkező, majd az

R

sugarú hengertükörről visszaverődő fénysugarak a nefroid érintői.

4. ábra

Ha az

f

fénysugár a

C

pontban

α

beesési szöggel éri el a

t

tükröt, onnan ugyanakkora szöggel verődik vissza;

v

és

f

szöge tehát

2 α

. Másrészt igaz, hogy a csúszásmentes gördülés miatt az alapkör

A B

ívének hossza megegyezik a gördülőkör

B P

ívének hosszával, a hozzájuk tartozó középponti szögek aránya pedig a körök sugár-aránya miatt

1 : 2

, így

B S P ∢ = 2 α

és

B C P ∢ = α

. Ezek szerint a visszavert fénysugár át kell haladjon a nefroid

P

pontján, méghozzá úgy, hogy éppen érinti a ,,vesegörbét'', hiszen gördülő kör pillanatnyi forgási középpontja

B

, tehát a

P

pont sebessége (az érintő iránya) merőleges

B P

-re, vagyis az érintő

P C

irányú kell legyen.
Egy keskeny fénynyaláb párhuzamos, egymáshoz közeli fénysugarai a nefroidot egymáshoz közeli pontokban érintik, tehát ‐ jó közelítéssel ‐ egy ponton mennek keresztül, fókuszálódnak. A fókuszpont a

C

tükröződési ponttól

\begin{matrix} f = C P = C B \cdot cos α = \frac{R}{2} \cdot cos α \end{matrix}

távolságban lesz. Az ábráról leolvasható a nefroid paraméteres egyenlete:

\begin{matrix} x (α) = \frac{R}{4} (3 cos α - cos 3 α), y (α) = \frac{R}{4} (3 sin α - sin 3 α), \end{matrix}

a feladatban szereplő

α = 41, 8^{\circ}

esetén

x = 4, 22

cm és

y = 1, 17

cm.

¹Lásd pl. Kós Géza: Lehet egy közelítéssel kevesebb c. cikkét a KöMaL 2010. évi 3. számában, 177. old.