Kezdőlap


Feladat:	4249. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Béres Bertold
Füzet:	2010/december, 561 - 562. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Kötelek (láncok) egyensúlya
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2010/április: 4249. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. A megoldás során feltételezzük, hogy a kötél nyújthatatlan, tehát rugalmas alakváltozásból származó munkával nem kell foglalkoznunk. Így a feladatban leírtak során csak a nehézségi erő ellen végzünk munkát, amely a súlypont (függőleges) elmozdulásából számolható.
Legyen az eredeti helyzetben lévő, $m$ tömegű kötél súlypontja $S$ . A kötél közepének lehúzása során a súlypont az $S_{A}$ pontig, a középpont felemelése során pedig az $S_{B}$ pontig emelkedik (1. ábra). (A szimmetria miatt a súlypont mindig csak függőlegesen mozdul el.)

1. ábra

Jelöljük

S

és

S_{A}

távolságát

h_{1}

-gyel,

S

és

S_{B}

távolságát pedig

h_{2}

-vel! A feladatban leírt két kísérletben az összes munkavégzés eszerint:

\begin{matrix} W = W_{1} + W_{2} = m g (h_{1} + h_{2}) . \end{matrix}

Legyen továbbá

C S_{A}

‐ és a vele nyilván megegyező ‐

C S_{B}

távolság nagysága

x

. Ekkor

C

és

S

távolsága

\begin{matrix} s = x + h_{1}, \end{matrix}

és fennáll még

\begin{matrix} h_{2} = h_{1} + 2 x . \end{matrix}

Ezekből következik, hogy

\begin{matrix} s = \frac{h_{1} + h_{2}}{2}, \end{matrix}

a számított munka pedig

\begin{matrix} W = 2 m g s . \end{matrix}

A kötél közepének

C

pontig való felemelésekor a jobb, illetve bal oldali fél kötél súlypontja

s_{1}

távol kerül a felfüggesztési pontokon átmenő vízszintes egyenestől, így az egész kötél súlypontja is

s_{1}

távol lesz ettől az egyenestől. Észrevehető, hogy a kialakult egyensúlyi helyzetben a két fél kötéldarab alakja hasonló az eredeti (teljes) kötélhez, annak felére kicsinyített változata. Emiatt mindkét fél-kötél súlypontja a felfüggesztési pontokon átmenő egyenes alatt

\begin{matrix} s_{1} = \frac{s}{2} \end{matrix}

mélyen lesz, s ugyanilyen mélyen helyezkedik el a két fél-kötélből áll rendszer közös súlypontja is (2. ábra).

2. ábra

Ennek megfelelően a kiindulási helyzetből a

C

pontig emelve a kötél közepét, a súlypont emelkedése:

\begin{matrix} Δ s = s - s_{1} = \frac{s}{2}, \end{matrix}

a végzett munka pedig:

\begin{matrix} W_{C} = m g Δ s = m g \frac{h_{1} + h_{2}}{4} = \frac{W}{4} . \end{matrix}